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第1篇高二數(shù)學(xué)函數(shù)公式知識點總結(jié) 第2篇2023年高考數(shù)學(xué)函數(shù)專項知識點整理總結(jié) 第3篇高三數(shù)學(xué)函數(shù)部分的知識點歸類總結(jié) 第4篇總結(jié)高一數(shù)學(xué)函數(shù)的知識點 第5篇大學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與極限的學(xué)習(xí)總結(jié) 第6篇2023年大學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與極限的學(xué)習(xí)總結(jié)范文 第7篇高一數(shù)學(xué)函數(shù)與方程知識點的總結(jié) 第8篇高三數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié) 第9篇高一數(shù)學(xué)函數(shù)與方程知識點總結(jié) 第10篇高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點最新總結(jié)
【第1篇 高二數(shù)學(xué)函數(shù)公式知識點總結(jié)
高二數(shù)學(xué)函數(shù)公式知識點總結(jié)
高二數(shù)學(xué)知識點:函數(shù)公式總結(jié)
(1)高中函數(shù)公式的變量:因變量,自變量。
在用圖象表示變量之間的關(guān)系時,通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量,用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。
(2)一次函數(shù):①若兩個變量,間的關(guān)系式可以表示成(為常數(shù),不等于0)的形式,則稱是的一次函數(shù)。②當(dāng)=0時,稱是的正比例函數(shù)。
(3)高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
①把一個函數(shù)的自變量與對應(yīng)的因變量的值分別作為點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點,所有這些點組成的.圖形叫做該函數(shù)的圖象。
②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。
③在一次函數(shù)中,當(dāng)0,o,則經(jīng)2、3、4象限;當(dāng)0,0時,則經(jīng)1、2、4象限;當(dāng)0,0時,則經(jīng)1、3、4象限;當(dāng)0,0時,則經(jīng)1、2、3象限。
④當(dāng)0時,的值隨值的增大而增大,當(dāng)0時,的值隨值的增大而減少。
(4)高中函數(shù)的二次函數(shù):
①一般式:,對稱軸是
頂點是;
②頂點式:,對稱軸是頂點是;
③交點式:,其中,是拋物線與_軸的交點
(5)高中函數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)
①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。
②時,在對稱軸左側(cè),值隨值的增大而減少;在對稱軸右側(cè);的值隨值的增大而增大。當(dāng)時,取得最小值
③時,在對稱軸左側(cè),值隨值的增大而增大;在對稱軸右側(cè);的值隨值的增大而減少。當(dāng)時,取得最大值
9高中函數(shù)的圖形的對稱
(1)軸對稱圖形:①如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關(guān)于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。
(2)中心對稱圖形:①在平面內(nèi),一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180度,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點所連成的線段都被對稱中心平分。
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【第2篇 2023年高考數(shù)學(xué)函數(shù)專項知識點整理總結(jié)
(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)
1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對應(yīng),而函數(shù)又是一種特殊的映射.
2、對于函數(shù)的概念,應(yīng)注意如下幾點:
(1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).
(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式,特別是會求分段函數(shù)的解析式.
(3)如果y=f(u),u=g(_),那么y=f[g(_)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù),其中g(shù)(_)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù).
3、求函數(shù)y=f(_)的反函數(shù)的一般步驟:
(1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;
(2)由y=f(_)的解析式求出_=f-1(y);
(3)將_,y對換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(_),并注明定義域.
注意①:對于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起.
②熟悉的應(yīng)用,求f-1(_0)的值,合理利用這個結(jié)論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡化運算.
(二)、函數(shù)的解析式與定義域
1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時,求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型:
(1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題,這時自變量_有實際意義,求定義域要結(jié)合實際意義考慮;
(2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可.如:
①分式的分母不得為零;
②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tan_(_∈r,且k∈z),余切函數(shù)y=cot_(_∈r,_≠kπ,k∈z)等.
應(yīng)注意,一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時,定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).
(3)已知一個函數(shù)的定義域,求另一個函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(_)的定義域是[a,b],求f[g(_)]的定義域是指滿足a≤g(_)≤b的_的取值范圍,而已知f[g(_)]的定義域[a,b]指的是_∈[a,b],此時f(_)的定義域,即g(_)的值域.
2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況
(1)根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時,必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.
(2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù),可設(shè)f(_)=a_+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,求出a,b即可.
(3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的表達(dá)式時,可用換元法求函數(shù)f(_)的表達(dá)式,這時必須求出g(_)的值域,這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.
(4)若已知f(_)滿足某個等式,這個等式除f(_)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(-_),等),必須根據(jù)已知等式,再構(gòu)造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(_)的表達(dá)式.
(三)、函數(shù)的值域與最值
1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:
(1)直接法:亦稱觀察法,對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì),直接觀察得出函數(shù)的值域.
(2)換元法:運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元,當(dāng)根式里是二次式時,用三角換元.
(3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(_)與其反函數(shù)f-1(_)的定義域和值域間的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.
(4)配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.
(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.
(6)判別式法:把y=f(_)變形為關(guān)于_的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.
(7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性,可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.
(8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.
2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異.
如函數(shù)的值域是(0,16],值是16,無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如_>0時,函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.
3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用
函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”,“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上,求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值.
(四)、函數(shù)的奇偶性
1、函數(shù)的奇偶性的定義:對于函數(shù)f(_),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個_,都有f(-_)=-f(_)(或f(-_)=f(_)),那么函數(shù)f(_)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).
正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點:(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(_)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(_)=-f(_)或f(-_)=f(_)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).
2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式:
注意如下結(jié)論的運用:
(1)不論f(_)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),f(|_|)總是偶函數(shù);
(2)f(_)、g(_)分別是定義域d1、d2上的奇函數(shù),那么在d1∩d2上,f(_)+g(_)是奇函數(shù),f(_)·g(_)是偶函數(shù),類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
(3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);
(4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。
3、有關(guān)奇偶性的幾個性質(zhì)及結(jié)論
(1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.
(2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零,那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(3)若奇函數(shù)f(_)在_=0處有意義,則f(0)=0成立.
(4)若f(_)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù),則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。
(5)若f(_)的定義域關(guān)于原點對稱,則f(_)=f(_)+f(-_)是偶函數(shù),g(_)=f(_)-f(-_)是奇函數(shù).
(6)奇偶性的推廣
函數(shù)y=f(_)對定義域內(nèi)的任一_都有f(a+_)=f(a-_),則y=f(_)的圖象關(guān)于直線_=a對稱,即y=f(a+_)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(_)對定義域內(nèi)的任-_都有f(a+_)=-f(a-_),則y=f(_)的圖象關(guān)于點(a,0)成中心對稱圖形,即y=f(a+_)為奇函數(shù).
(五)、函數(shù)的單調(diào)性
1、單調(diào)函數(shù)
對于函數(shù)f(_)定義在某區(qū)間[a,b]上任意兩點_1,_2,當(dāng)_1>_2時,都有不等式f(_1)>(或<)f(_2)成立,稱f(_)在[a,b]上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).
對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解,要注意以下三點:
(1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念.一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.
(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì),因此定義中的_1,_2具有任意性,不能用特殊值代替.
(3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi).
(4)注意定義的兩種等價形式:
設(shè)_1、_2∈[a,b],那么:
①在[a、b]上是增函數(shù);
在[a、b]上是減函數(shù).
②在[a、b]上是增函數(shù).
在[a、b]上是減函數(shù).
需要指出的是:①的幾何意義是:增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(_1,f(_1))、(_2,f(_2))連線的斜率都大于(或小于)零.
(5)由于定義都是充要性命題,因此由f(_)是增(減)函數(shù),且(或_1>_2),這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.
5、復(fù)合函數(shù)y=f[g(_)]的單調(diào)性
若u=g(_)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性,與y=f(u)在[g(a),g(b)](或g(b),g(a))上的單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(_)]在[a,b]上單調(diào)遞增;否則,單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減”.
在研究函數(shù)的單調(diào)性時,常需要先將函數(shù)化簡,轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此,掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將大大縮短我們的判斷過程.
6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法
(1)依定義進(jìn)行證明.其步驟為:①任取_1、_2∈m且_1(或<)f(_2);③根據(jù)定義,得出結(jié)論.
(2)設(shè)函數(shù)y=f(_)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).
如果f′(_)>0,則f(_)為增函數(shù);如果f′(_)<0,則f(_)為減函數(shù).
(六)、函數(shù)的圖象
函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn),應(yīng)加強(qiáng)對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng),培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識.
求作圖象的函數(shù)表達(dá)式
與f(_)的關(guān)系
由f(_)的圖象需經(jīng)過的變換
y=f(_)±b(b>0)
沿y軸向平移b個單位
y=f(_±a)(a>0)
沿_軸向平移a個單位
y=-f(_)
作關(guān)于_軸的對稱圖形
y=f(|_|)
右不動、左右關(guān)于y軸對稱
y=|f(_)|
上不動、下沿_軸翻折
y=f-1(_)
作關(guān)于直線y=_的對稱圖形
y=f(a_)(a>0)
橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變
y=af(_)
縱坐標(biāo)伸長到原來的|a|倍,橫坐標(biāo)不變
y=f(-_)
作關(guān)于y軸對稱的圖形
例定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(_),對任意_,y∈r,有f(_+y)+f(_-y)=2f(_)·f(y),且f(0)≠0.
①求證:f(0)=1;
②求證:y=f(_)是偶函數(shù);
③若存在常數(shù)c,使求證對任意_∈r,有f(_+c)=-f(_)成立;試問函數(shù)f(_)是不是周期函數(shù),如果是,找出它的一個周期;如果不是,請說明理由.
思路分析:我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù),解決這類問題一般采用賦值法.
解答:①令_=y=0,則有2f(0)=2f2(0),因為f(0)≠0,所以f(0)=1.
②令_=0,則有f(_)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),這說明f(_)為偶函數(shù).
③分別用(c>0)替換_、y,有f(_+c)+f(_)=
所以,所以f(_+c)=-f(_).
兩邊應(yīng)用中的結(jié)論,得f(_+2c)=-f(_+c)=-[-f(_)]=f(_),
所以f(_)是周期函數(shù),2c就是它的一個周期.
【第3篇 高三數(shù)學(xué)函數(shù)部分的知識點歸類總結(jié)
1. 函數(shù)的奇偶性
(1)若f(_)是偶函數(shù),那么f(_)=f(-_) ;
(2)若f(_)是奇函數(shù),0在其定義域內(nèi),則 f(0)=0(可用于求參數(shù));
(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式:f(_)±f(-_)=0或 (f(_)≠0);
(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷其奇偶性;
(5)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;
2. 復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:若已知 的定義域為[a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的定義域由不等式a≤g(_)≤b解出即可;若已知f[g(_)]的定義域為[a,b],求 f(_)的定義域,相當(dāng)于_∈[a,b]時,求g(_)的值域(即 f(_)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。
(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;
3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數(shù)圖像的對稱性,即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像c1與c2的對稱性,即證明c1上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在c2上,反之亦然;
(3)曲線c1:f(_,y)=0,關(guān)于y=_+a(y=-_+a)的對稱曲線c2的方程為f(y-a,_+a)=0(或f(-y+a,-_+a)=0);
(4)曲線c1:f(_,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線c2方程為:f(2a-_,2b-y)=0;
(5)若函數(shù)y=f(_)對_∈r時,f(a+_)=f(a-_)恒成立,則y=f(_)圖像關(guān)于直線_=a對稱;
(6)函數(shù)y=f(_-a)與y=f(b-_)的圖像關(guān)于直線_= 對稱;
4.函數(shù)的周期性
(1)y=f(_)對_∈r時,f(_ +a)=f(_-a) 或f(_-2a )=f(_) (a>0)恒成立,則y=f(_)是周期為2a的周期函數(shù);
(2)若y=f(_)是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線_=a對稱,則f(_)是周期為2︱a︱的周期函數(shù);
(3)若y=f(_)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線_=a對稱,則f(_)是周期為4︱a︱的周期函數(shù);
(4)若y=f(_)關(guān)于點(a,0),(b,0)對稱,則f(_)是周期為2 的周期函數(shù);
(5)y=f(_)的圖象關(guān)于直線_=a,_=b(a≠b)對稱,則函數(shù)y=f(_)是周期為2 的周期函數(shù);
(6)y=f(_)對_∈r時,f(_+a)=-f(_)(或f(_+a)= ,則y=f(_)是周期為2 的周期函數(shù);
5.方程k=f(_)有解 k∈d(d為f(_)的值域);
6.a≥f(_) 恒成立 a≥[f(_)]ma_,; a≤f(_) 恒成立 a≤[f(_)]min;
7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈r+); (2) l og a n= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3) l og a b的符號由口訣“同正異負(fù)”記憶; (4) a log a n= n ( a>0,a≠1,n>0 );
8. 判斷對應(yīng)是否為映射時,抓住兩點:(1)a中元素必須都有象且;(2)b中元素不一定都有原象,并且a中不同元素在b中可以有相同的象;
9. 能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,求反函數(shù),判斷函數(shù)的奇偶性。
10.對于反函數(shù),應(yīng)掌握以下一些結(jié)論:(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);(3)定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù);(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);(5)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性;(5) y=f(_)與y=f-1(_)互為反函數(shù),設(shè)f(_)的定義域為a,值域為b,則有f[f--1(_)]=_(_∈b),f--1[f(_)]=_(_∈a).
11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值,求最值問題用“兩看法”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系;
12. 依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題
13. 恒成立問題的處理方法:(1)分離參數(shù)法;(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
【第4篇 總結(jié)高一數(shù)學(xué)函數(shù)的知識點
1.高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)的基本性質(zhì)——函數(shù)的概念:設(shè)a、b是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合a中的任意一個數(shù)_,在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(_)和它對應(yīng),那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個函數(shù).記作: y=f(_),_∈a.其中,_叫做自變量,_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域.
注意:如果只給出解析式y(tǒng)=f(_),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合; 函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.
定義域補(bǔ)充
能使函數(shù)式有意義的實數(shù) _ 的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:
(1) 分式的分母不等于零;
(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3) 對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于 1.
(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的 . 那么,它的定義域是使各部分都有意義的 _ 的值組成的集合 .
(6)指數(shù)為零底不可以等于零
構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域
再注意:
(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))
(2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)
值域補(bǔ)充
( 1 )、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域 . ( 2 ) . 應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ) . ( 3 ) . 求函數(shù)值域的常用方法有:直接法、反函數(shù)法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調(diào)性法等 .
3. 高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)的基本性質(zhì)——函數(shù)圖象知識歸納
(1) 定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(_) , (_ ∈a)中的 _ 為橫坐標(biāo),函數(shù)值 y 為縱坐標(biāo)的點 p(_ , y) 的集合 c ,叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象.
c 上每一點的坐標(biāo) (_ , y) 均滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(_) ,反過來,以滿足 y=f(_) 的每一組有序?qū)崝?shù)對 _ 、 y 為坐標(biāo)的點 (_ , y) ,均在 c 上 . 即記為 c={ p(_,y) | y= f(_) , _ ∈a }
圖象 c 一般的是一條光滑的連續(xù)曲線 ( 或直線 ), 也可能是由與任意平行與 y 軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成 .
(2) 畫法
a、描點法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出 _,y 的一些對應(yīng)值并列表,以 (_,y) 為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點 p(_, y) ,最后用平滑的曲線將這些點連接起來 .
b、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))
常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3) 作用:
1 、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì); 2 、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的`思路。提高解題的速度。
發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。
4.高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)的基本性質(zhì)——快去了解區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)的基本性質(zhì)——什么叫做映射
一般地,設(shè)a、b是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合a中的任意一個元素_,在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:a b為從集合a到集合b的一個映射。記作“f:a b”
給定一個集合a到b的映射,如果a∈a,b∈b.且元素a和元素b對應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
說明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應(yīng),①集合a、b及對應(yīng)法則f是確定的;②對應(yīng)法則有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合a到集合b的對應(yīng),它與從b到a的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對于映射f:a→b來說,則應(yīng)滿足:(ⅰ)集合a中的每一個元素,在集合b中都有象,并且象是唯一的;(ⅱ)集合a中不同的元素,在集合b中對應(yīng)的象可以是同一個;(ⅲ)不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。
常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點:
函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù); 解析法:必須注明函數(shù)的定義域; 圖象法:描點法作圖要注意:確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征; 列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征.
注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法:便于查出函數(shù)值。圖象法:便于量出函數(shù)值
補(bǔ)充一:分段函數(shù) (參見課本p24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.
補(bǔ)充二:復(fù)合函數(shù)
如果 y=f(u),(u ∈m),u=g(_),(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_),(_∈a) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
高一數(shù)學(xué)人教版必修一第一單元知識點就為大家介紹到這里,希望對你有所幫助。
【第5篇 大學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與極限的學(xué)習(xí)總結(jié)
好多大學(xué)生都以為上了大學(xué)就輕松啦,甚至以為沒了數(shù)學(xué),但是往往結(jié)果和想象的不一樣,大學(xué)高等數(shù)學(xué),就好像一個攔路虎,阻擋了去路。那么,究竟應(yīng)該如何在大學(xué)中學(xué)好高數(shù)呢?這是我的大學(xué)高數(shù)的總結(jié),看好了,絕對有用
ab={_|_屬于a(沒法輸入數(shù)學(xué)符號,見諒);且_不屬于b}叫a與b的差集;
ia=a^c叫余集或補(bǔ)集;
任意_屬于a,y屬于b的有序?qū)?_,y)稱為直積或笛卡爾積;表示:a 乘以 b={(_,y)|且_屬于a,y屬于b};
鄰域:到點a距離小于p點的集合,記作u(a),
a稱為鄰域的中心,p稱為鄰域的半徑,
u(a,p)={_| |_-a|
函數(shù):y=f(_) df或d稱為定義域,rf或f(d)稱為值域,
反函數(shù):y=f(_) ==》_=f'(y),即新的y=f(_),但是求完后要加上定義域即_屬于(a,b)
三角函數(shù),
取整函數(shù): y=[_]即不超過_的最大整數(shù),這是我的大學(xué)高數(shù)的總結(jié),看好了,絕對有用
符號函數(shù);
函數(shù)特性:
(1)若任意_屬于_,有f(_)<=k,則稱_有上界,k為一個上界,
(2)“有界”表示既有上界又有下界,否則稱為無界,
(3)單調(diào)性,奇偶性,周期性(指最小正周期);
復(fù)合函數(shù):
若 y=f(u),u=g(_);則稱y=f[g(_)為復(fù)合函數(shù);
初等函數(shù):
(1)基本初等函數(shù):冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù),反三角函數(shù),
(2)初等函數(shù):由常數(shù)和基本初等函數(shù)并成,可用一個式子表示的函數(shù);
【第6篇 2023年大學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與極限的學(xué)習(xí)總結(jié)范文
好多大學(xué)生都以為上了大學(xué)就輕松啦,甚至以為沒了數(shù)學(xué),但是往往結(jié)果和想象的不一樣,大學(xué)高等數(shù)學(xué),就好像一個攔路虎,阻擋了去路。那么,究竟應(yīng)該如何在大學(xué)中學(xué)好高數(shù)呢?這是我的大學(xué)高數(shù)的總結(jié),看好了,絕對有用
ab={_|_屬于a(沒法輸入數(shù)學(xué)符號,見諒);且_不屬于b}叫a與b的差集;
ia=a^c叫余集或補(bǔ)集;
任意_屬于a,y屬于b的有序?qū)?_,y)稱為直積或笛卡爾積;表示:a 乘以 b={(_,y)|且_屬于a,y屬于b};
鄰域:到點a距離小于p點的集合,記作u(a),
a稱為鄰域的中心,p稱為鄰域的半徑,
u(a,p)={_| |_-a|
函數(shù):y=f(_) df或d稱為定義域,rf或f(d)稱為值域,
反函數(shù):y=f(_) ==》_=f'(y),即新的y=f(_),但是求完后要加上定義域即_屬于(a,b)
三角函數(shù),
取整函數(shù): y=[_]即不超過_的最大整數(shù),這是我的大學(xué)高數(shù)的總結(jié),看好了,絕對有用
符號函數(shù);
函數(shù)特性
(1)若任意_屬于_,有f(_)=k,則稱_有上界,k為一個上界,
(2)“有界”表示既有上界又有下界,否則稱為無界,
(3)單調(diào)性,奇偶性,周期性(指最小正周期);
復(fù)合函數(shù)
若 y=f(u),u=g(_);則稱y=f[g(_)為復(fù)合函數(shù);
初等函數(shù)
(1)基本初等函數(shù):冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù),反三角函數(shù),
(2)初等函數(shù):由常數(shù)和基本初等函數(shù)并成,可用一個式子表示的函數(shù);
【第7篇 高一數(shù)學(xué)函數(shù)與方程知識點的總結(jié)
一、函數(shù)的概念與表示
1、映射
(1)映射:設(shè)a、b是兩個集合,如果按照某種映射法則f,對于集合a中的任一個元素,在集合b中都有唯一的元素和它對應(yīng),則這樣的對應(yīng)(包括集合a、b以及a到b的對應(yīng)法則f)叫做集合a到集合b的映射,記作f:ab。 注意點:(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射,多對一是映射
2、函數(shù)
構(gòu)成函數(shù)概念的三要素 ①定義域②對應(yīng)法則③值域
二、函數(shù)的解析式與定義域
1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù): (1)分式的分母不為零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零,零取零次方?jīng)]有意義; (3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
2求函數(shù)定義域的兩個難點問題
(1) 已知f(_)的定義域是[-2,5],求f(2_+3)的定義域。
(2) 已知f(2_-1)的定義域是[-1,3],求f_的定義域
三、函數(shù)的值域
1求函數(shù)值域的'方法
①直接法:從自變量_的范圍出發(fā),推出y=f(_)的取值范圍,適合于簡單的復(fù)合函數(shù); ②換元法:利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,適合根式內(nèi)外皆為一次式;
③判別式法:運用方程思想,依據(jù)二次方程有根,求出y的取值范圍;適合分母為二次且_r的分式;
④分離常數(shù):適合分子分母皆為一次式(_有范圍限制時要畫圖); ⑤單調(diào)性法:利用函數(shù)的單調(diào)性求值域; ⑥圖象法:二次函數(shù)必畫草圖求其
四.函數(shù)的奇偶性
1.定義: 設(shè)y=f(_),_a,如果對于任意_a,都有f(?_)?f(_),則稱y=f(_)為偶函數(shù)。
如果對于任意_a,都有f(?_)??f(_),則稱y=f(_)為奇
函數(shù)。 2.性質(zhì):
①y=f(_)是偶函數(shù)?y=f(_)的圖象關(guān)于y軸對稱, y=f(_)是奇函數(shù)?y=f(_)的圖象關(guān)于原點對稱,
②若函數(shù)f(_)的定義域關(guān)于原點對稱,則f(0)=0
高一數(shù)學(xué)函數(shù)與方程知識點就為大家介紹到這里,希望對你有所幫助。
【第8篇 高三數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)
關(guān)于高三數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)
高考復(fù)習(xí)正在緊張進(jìn)行中,小編整理了關(guān)于高三數(shù)學(xué)知識點函數(shù)總結(jié),供考生參考!!
1. 函數(shù)的奇偶性
(1)若f(_)是偶函數(shù),那么f(_)=f(-_)=
(2)若f(_)是奇函數(shù),0在其定義域內(nèi),則
(可用于求參數(shù));
(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式:f(_)f(-_)=0或(f(_)
(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷其奇偶性;
(5)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;
2. 復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:若已知
的定義域為[a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的定義域由不等式ab解出即可;若已知f[g(_)]的定義域為[a,b],求 f(_)的定義域,相當(dāng)于_[a,b]時,求g(_)的值域(即 f(_)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。
(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由同增異減判定;
3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數(shù)圖像的對稱性,即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像c1與c2的`對稱性,即證明c1上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在c2上,反之亦然;
(3)曲線c1:f(_,y)=0,關(guān)于y=_+a(y=-_+a)的對稱曲線c2的方程為f(y-a,_+a)=0(或f(-y+a,-_+a)=0);
(4)曲線c1:f(_,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線c2方程為:f(2a-_,2b-y)=0;
(5)若函數(shù)y=f(_)對_r時,f(a+_)=f(a-_)恒成立,則y=f(_)圖像關(guān)于直線_=a對稱;
(6)函數(shù)y=f(_-a)與y=f(b-_)的圖像關(guān)于直線_=對稱;
4.函數(shù)的周期性
(1)y=f(_)對_r時,f(_ +a)=f(_-a) 或f(_-2a )=f(_) (a0)恒成立,則y=f(_)是周期為2a的周期函數(shù);
(2)若y=f(_)是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線_=a對稱,則f(_)是周期為2︱a︱的周期函數(shù);
(3)若y=f(_)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線_=a對稱,則f(_)是周期為4︱a︱的周期函數(shù);
(4)若y=f(_)關(guān)于點(a,0),(b,0)對稱,則f(_)是周期為2的周期函數(shù);
(5)y=f(_)的圖象關(guān)于直線_=a,_=b(ab)對稱,則函數(shù)y=f(_)是周期為2的周期函數(shù);
(6)y=f(_)對_r時,f(_+a)=-f(_)(或f(_+a)=,則y=f(_)是周期為2的周期函數(shù);
5.方程k=f(_)有解kd(d為f(_)的值域);
6.af(_) 恒成立
[f(_)]ma_,; f(_) 恒成立
[f(_)]min;
7.(1)(a1,b0,n
(2) l ogan=( a1,b1);
(3) l ogab的符號由口訣同正異負(fù)記憶;
(4) alog a n= n ( a1,n
8. 判斷對應(yīng)是否為映射時,抓住兩點:(1)a中元素必須都有象且唯一;(2)b中元素不一定都有原象,并且a中不同元素在b中可以有相同的象;
9. 能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,求反函數(shù),判斷函數(shù)的奇偶性。
10.對于反函數(shù),應(yīng)掌握以下一些結(jié)論:(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);(3)定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù);(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);(5)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性;(5) y=f(_)與y=f-1(_)互為反函數(shù),設(shè)f(_)的定義域為a,值域為b,則有f[f--1(_)]=_(_b),f--1[f(_)]=_(_a).
11.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值,求最值問題用兩看法:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系;
12. 依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題:
(或
(或
13. 恒成立問題的處理方法:(1)分離參數(shù)法;(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
以上就是小編為大家整理的高三數(shù)學(xué)知識點函數(shù)總結(jié)。
【第9篇 高一數(shù)學(xué)函數(shù)與方程知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)函數(shù)與方程知識點總結(jié)
一、函數(shù)的概念與表示
1、映射
(1)映射:設(shè)a、b是兩個集合,如果按照某種映射法則f,對于集合a中的任一個元素,在集合b中都有唯一的元素和它對應(yīng),則這樣的對應(yīng)(包括集合a、b以及a到b的對應(yīng)法則f)叫做集合a到集合b的映射,記作f:ab。
注意點:(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射,多對一是映射
2、函數(shù)
構(gòu)成函數(shù)概念的三要素 ①定義域②對應(yīng)法則③值域
兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件:三要素有兩個相同
二、函數(shù)的解析式與定義域
1、求函數(shù)定義域的.主要依據(jù):
(1)分式的分母不為零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零,零取零次方?jīng)]有意義;
(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
三、函數(shù)的值域
1求函數(shù)值域的方法
①直接法:從自變量_的范圍出發(fā),推出y=f(_)的取值范圍,適合于簡單的復(fù)合函數(shù);
②換元法:利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,適合根式內(nèi)外皆為一次式;
③判別式法:運用方程思想,依據(jù)二次方程有根,求出y的取值范圍;適合分母為二次且 r的分式;
④分離常數(shù):適合分子分母皆為一次式(_有范圍限制時要畫圖);
⑤單調(diào)性法:利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;
⑥圖象法:二次函數(shù)必畫草圖求其值域;
⑦利用對號函數(shù)
⑧幾何意義法:由數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)
四.函數(shù)的奇偶性
1.定義:
設(shè)y=f(_),_a,如果對于任意 a,都有 ,則稱y=f(_)為偶函數(shù)。
如果對于任意 a,都有 ,則稱y=f(_)為奇
函數(shù)。
2.性質(zhì):
①y=f(_)是偶函數(shù) y=f(_)的圖象關(guān)于 軸對稱, y=f(_)是奇函數(shù) y=f(_)的圖象關(guān)于原點對稱,
②若函數(shù)f(_)的定義域關(guān)于原點對稱,則f(0)=0
③奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇[兩函數(shù)的定義域d1 ,d2,d1d2要關(guān)于原點對稱]
3.奇偶性的判斷
①看定義域是否關(guān)于原點對稱 ②看f(_)與f(-_)的關(guān)系
五、函數(shù)的單調(diào)性
1、函數(shù)單調(diào)性的定義:
2 設(shè) 是定義在m上的函數(shù),若f(_)與g(_)的單調(diào)性相反,則 在m上是減函數(shù);若f(_)與g(_)的單調(diào)性相同,則 在m上是增函數(shù)。
【第10篇 高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點最新總結(jié)
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點最新總結(jié)
一次函數(shù)
一、定義與定義式:
自變量_和因變量y有如下關(guān)系:
y=k_+b
則此時稱y是_的一次函數(shù)。
特別地,當(dāng)b=0時,y是_的正比例函數(shù)。
即:y=k_ (k為常數(shù),k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì):
1.y的變化值與對應(yīng)的_的變化值成正比例,比值為k
即:y=k_+b (k為任意不為零的實數(shù) b取任何實數(shù))
2.當(dāng)_=0時,b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):
1.作法與圖形:通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點,并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與_軸和y軸的交點)
2.性質(zhì):(1)在一次函數(shù)上的任意一點p(_,y),都滿足等式:y=k_+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0,b),與_軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3.k,b與函數(shù)圖像所在象限:
當(dāng)k>;0時,直線必通過一、三象限,y隨_的增大而增大;
當(dāng)k<0時,直線必通過二、四象限,y隨_的增大而減小。
當(dāng)b>;0時,直線必通過一、二象限;
當(dāng)b=0時,直線通過原點
當(dāng)b<0時,直線必通過三、四象限。
特別地,當(dāng)b=o時,直線通過原點o(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時,當(dāng)k>;0時,直線只通過一、三象限;當(dāng)k<0時,直線只通過二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式:
已知點a(_1,y1);b(_2,y2),請確定過點a、b的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=k_+b。
(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點p(_,y),都滿足等式y(tǒng)=k_+b。所以可以列出2個方程:y1=k_1+b …… ① 和 y2=k_2+b …… ②
(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用:
1.當(dāng)時間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量s。g=s-ft。
六、常用公式:(不全,希望有人補(bǔ)充)
1.求函數(shù)圖像的k值:(y1-y2)/(_1-_2)
2.求與_軸平行線段的中點:|_1-_2|/2
3.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2
4.求任意線段的長:√(_1-_2)^2+(y1-y2)^2 (注:根號下(_1-_2)與(y1-y2)的平方和)
反比例函數(shù)
形如 y=k/_(k為常數(shù)且k≠0) 的函數(shù),叫做反比例函數(shù)。
自變量_的取值范圍是不等于0的'一切實數(shù)。
反比例函數(shù)圖像性質(zhì):反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。
由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù),有f(-_)=-f(_),圖像關(guān)于原點對稱。
另外,從反比例函數(shù)的解析式可以得出,在反比例函數(shù)的圖像上任取一點,向兩個坐標(biāo)軸作垂線,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為∣k∣。
當(dāng)k>;0時,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一,三象限,是減函數(shù)
當(dāng)k<0時,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二,四象限,是增函數(shù)
反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標(biāo)軸,無法和坐標(biāo)軸相交。
知識點:
1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線段,這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為| k |。
2.對于雙曲線y=k/_ ,若在分母上加減任意一個實數(shù) (即 y=k/(_±m(xù))m為常數(shù)),就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數(shù)時向左平移,減一個數(shù)時向右平移)
指數(shù)函數(shù)
(1) 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合,這里的前提是a大于0,對于a不大于0的情況,則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。
(2) 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。
(3) 函數(shù)圖形都是下凹的。
(4) a大于1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0,則為單調(diào)遞減的。
(5) 可以看到一個顯然的規(guī)律,就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于0),函數(shù)的曲線從分別接近于y軸與_軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于y軸的正半軸與_軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6) 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于_軸,永不相交。
(7) 函數(shù)總是通過(0,1)這點。
(8) 顯然指數(shù)函數(shù)無界。
奇偶性
1.定義
一般地,對于函數(shù)f(_)
(1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個_,都有f(-_)=-f(_),那么函數(shù)f(_)就叫做奇函數(shù)。
(2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個_,都有f(-_)=f(_),那么函數(shù)f(_)就叫做偶函數(shù)。
(3)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個_,f(-_)=-f(_)與f(-_)=f(_)同時成立,那么函數(shù)f(_)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),稱為既奇又偶函數(shù)。
(4)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個_,f(-_)=-f(_)與f(-_)=f(_)都不能成立,那么函數(shù)f(_)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù)。
說明:
①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),對整個定義域而言
②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱,如果一個函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則這個函數(shù)一定不是奇(或偶)函數(shù)。
(分析:判斷函數(shù)的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱,然后再嚴(yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、整理、再與f(_)比較得出結(jié)論)
③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義
2.奇偶函數(shù)圖像的特征:
定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖表,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對稱圖形。
f(_)為奇函數(shù)《==》f(_)的圖像關(guān)于原點對稱
點(_,y)→(-_,-y)
奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對稱區(qū)間上也是單調(diào)遞增。
偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對稱區(qū)間上單調(diào)遞減。
3. 奇偶函數(shù)運算
(1) . 兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).
(2) . 兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).
(3) . 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).
(4) . 兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(5) . 兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(6) . 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).