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初中奧數28條知識點總結(十五篇)

發(fā)布時間:2024-02-06 21:00:02 查看人數:43

初中奧數28條知識點總結

第1篇 初中奧數28條知識點總結 3450字

導語今天為大家整理了有關初中數學知識點總結:奧數30條知識點總結的相關內容,以供大家閱讀。

28大奧數知識點回顧:

1.和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數的和與差幾個數的和與倍數幾個數的差與倍數

公式適用范圍已知兩個數的和,差,倍數關系

公式①(和-差)÷2=較小數

較小數+差=較大數

和-較小數=較大數

②(和+差)÷2=較大數

較大數-差=較小數

和-較大數=較小數

和÷(倍數+1)=小數

小數×倍數=大數

和-小數=大數

差÷(倍數-1)=小數

小數×倍數=大數

小數+差=大數

關鍵問題求出同一條件下的

和與差和與倍數差與倍數

2.年齡問題的三個基本特征:

①兩個人的年齡差是不變的;

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的;

③兩個人的年齡的倍數是發(fā)生變化的;

3.歸一問題的基本特點:

問題中有一個不變的量,一般是那個“單一量”,題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。

關鍵問題:根據題目中的條件確定并求出單一量;

4.植樹問題

基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹,只有一端植樹封閉曲線上植樹

基本公式棵數=段數+1

棵距×段數=總長棵數=段數-1

棵距×段數=總長棵數=段數

棵距×段數=總長

關鍵問題確定所屬類型,從而確定棵數與段數的關系

5.雞兔同籠問題

基本概念:雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題,就是把假設錯的那部分置換出來;

基本思路:

①假設,即假設某種現象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣):

②假設后,發(fā)生了和題目條件不同的差,找出這個差是多少;

③每個事物造成的差是固定的,從而找出出現這個差的原因;

④再根據這兩個差作適當的調整,消去出現的差。

基本公式:

①把所有雞假設成兔子:雞數=(兔腳數×總頭數-總腳數)÷(兔腳數-雞腳數)

②把所有兔子假設成雞:兔數=(總腳數一雞腳數×總頭數)÷(兔腳數一雞腳數)

關鍵問題:找出總量的差與單位量的差。

6.盈虧問題

基本概念:一定量的對象,按照某種標準分組,產生一種結果:按照另一種標準分組,又產生一種結果,由于分組的標準不同,造成結果的差異,由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量.

基本思路:先將兩種分配方案進行比較,分析由于標準的差異造成結果的變化,根據這個關系求出參加分配的總份數,然后根據題意求出對象的總量.

基本題型:

①一次有余數,另一次不足;

基本公式:總份數=(余數+不足數)÷兩次每份數的差

②當兩次都有余數;

基本公式:總份數=(較大余數一較小余數)÷兩次每份數的差

③當兩次都不足;

基本公式:總份數=(較大不足數一較小不足數)÷兩次每份數的差

基本特點:對象總量和總的組數是不變的。

關鍵問題:確定對象總量和總的組數。

7.牛吃草問題

基本思路:假設每頭牛吃草的速度為“1”份,根據兩次不同的吃法,求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因,即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點:原草量和新草生長速度是不變的;

關鍵問題:確定兩個不變的量。

基本公式:

生長量=(較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數)÷(長時間-短時間);

總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量;

8.周期循環(huán)與數表規(guī)律

周期現象:事物在運動變化的過程中,某些特征有規(guī)律循環(huán)出現。

周期:我們把連續(xù)兩次出現所經過的時間叫周期。

關鍵問題:確定循環(huán)周期。

閏年:一年有366天;

①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,則年份必須能被400整除;

平年:一年有365天。

①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;

9.平均數

基本公式:①平均數=總數量÷總份數

總數量=平均數×總份數

總份數=總數量÷平均數

②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和÷總份數

基本算法:

①求出總數量以及總份數,利用基本公式①進行計算.

②基準數法:根據給出的數之間的關系,確定一個基準數;一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數;以基準數為標準,求所有給出數與基準數的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數;最后求這個差的平均數和基準數的和,就是所求的平均數,具體關系見基本公式②。

10.抽屜原理

抽屜原則一:如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里,那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

例:把4個物體放在3個抽屜里,也就是把4分解成三個整數的和,那么就有以下四種情況:

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式,我們會發(fā)現一個共同特點:總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體,也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二:如果把n個物體放在m個抽屜里,其中n>;m,那么必有一個抽屜至少有:

①k=[n/m]+1個物體:當n不能被m整除時。

②k=n/m個物體:當n能被m整除時。

理解知識點:[x]表示不超過x的整數。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

關鍵問題:構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量,而后依據抽屜原則進行運算。

11.定義新運算

基本概念:定義一種新的運算符號,這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。

基本思路:嚴格按照新定義的運算規(guī)則,把已知的數代入,轉化為加減乘除的運算,然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。

關鍵問題:正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項:①新的運算不一定符合運算規(guī)律,特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

12.數列求和

等差數列:在一列數中,任意相鄰兩個數的差是一定的,這樣的一列數,就叫做等差數列。

基本概念:首項:等差數列的第一個數,一般用a1表示;

項數:等差數列的所有數的個數,一般用n表示;

公差:數列中任意相鄰兩個數的差,一般用d表示;

通項:表示數列中每一個數的公式,一般用an表示;

數列的和:這一數列全部數字的和,一般用sn表示.

基本思路:等差數列中涉及五個量:a1,an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可求出第四個;求和公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可以求這第四個。

基本公式:通項公式:an=a1+(n-1)d;

通項=首項+(項數一1)×公差;

數列和公式:sn,=(a1+an)×n÷2;

數列和=(首項+末項)×項數÷2;

項數公式:n=(an+a1)÷d+1;

項數=(末項-首項)÷公差+1;

公差公式:d=(an-a1))÷(n-1);

公差=(末項-首項)÷(項數-1);

關鍵問題:確定已知量和未知量,確定使用的公式;

13.二進制及其應用

十進制:用0~9十個數字表示,逢10進1;不同數位上的數字表示不同的含義,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

=an×10n-1+an-1×10n-2+an-2×10n-3+an-3×10n-4+an-4×10n-5+an-6×10n-7+……+a3×102+a2×101+a1×100

注意:n0=1;n1=n(其中n是任意自然數)

二進制:用0~1兩個數字表示,逢2進1;不同數位上的數字表示不同的含義。

(2)=an×2n-1+an-1×2n-2+an-2×2n-3+an-3×2n-4+an-4×2n-5+an-6×2n-7+……+a3×22+a2×21+a1×20

注意:an不是0就是1。

十進制化成二進制:

①根據二進制滿2進1的特點,用2連續(xù)去除這個數,直到商為0,然后把每次所得的余數按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數的2的n次方,再求它們的差,再找不大于這個差的2的n次方,依此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。

14.加法乘法原理和幾何計數

加法原理:如果完成一件任務有n類方法,在第一類方法中有m1種不同方法,在第二類方法中有m2種不同方法……,在第n類方法中有mn種不同方法,那么完成這件任務共有:m1+m2.......+mn種不同的方法。

關鍵問題:確定工作的分類方法。

基本特征:每一種方法都可完成任務。

乘法原理:如果完成一件任務需要分成n個步驟進行,做第1步有m1種方法,不管第1步用哪一種方法,第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法,第n步總有mn種方法,那么完成這件任務共有:m1×m2.......×mn種不同的方法。

關鍵問題:確定工作的完成步驟。

基本特征:每一步只能完成任務的一部分。

直線:一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動,形成的軌跡。

直線特點:沒有端點,沒有長度。

線段:直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點:有兩個端點,有長度。

射線:把直線的一端無限延長。

射線特點:只有一個端點;沒有長度。

①數線段規(guī)律:總數=1+2+3+…+(點數一1);

②數角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數一1);

③數長方形規(guī)律:個數=長的線段數×寬的線段數:

④數長方形規(guī)律:個數=1×1+2×2+3×3+…+行數×列數

15.質數與合數

質數:一個數除了1和它本身之外,沒有別的約數,這個數叫做質數,也叫做素數。

合數:一個數除了1和它本身之外,還有別的約數,這個數叫做合數。

質因數:如果某個質數是某個數的約數,那么這個質數叫做這個數的質因數。

分解質因數:把一個數用質數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是的。

分解質因數的標準表示形式:n=,其中a1、a2、a3……an都是合數n的質因數,且a1<……

求約數個數的公式:p=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互質數:如果兩個數的公約數是1,這兩個數叫做互質數。

16.約數與倍數

約數和倍數:若整數a能夠被b整除,a叫做b的倍數,b就叫做a的約數。

公約數:幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中的一個,叫做這幾個數的公約數。

公約數的性質:

1、幾個數都除以它們的公約數,所得的幾個商是互質數。

2、幾個數的公約數都是這幾個數的約數。

3、幾個數的公約數,都是這幾個數的公約數的約數。

4、幾個數都乘以一個自然數m,所得的積的公約數等于這幾個數的公約數乘以m。

例如:12的約數有1、2、3、4、6、12;

18的約數有:1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公約數有:1、2、3、6;

那么12和18的公約數是:6,記作(12,18)=6;

求公約數基本方法:

1、分解質因數法:先分解質因數,然后把相同的因數連乘起來。

2、短除法:先找公有的約數,然后相乘。

3、輾轉相除法:每一次都用除數和余數相除,能夠整除的那個余數,就是所求的公約數。

公倍數:幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。

12的倍數有:12、24、36、48……;

18的倍數有:18、36、54、72……;

那么12和18的公倍數有:36、72、108……;

那么12和18最小的公倍數是36,記作[12,18]=36;

最小公倍數的性質:

1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

2、兩個數公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

求最小公倍數基本方法:1、短除法求最小公倍數;2、分解質因數的方法

17.數的整除

一、基本概念和符號:

1、整除:如果一個整數a,除以一個自然數b,得到一個整數商c,而且沒有余數,那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號:整除符號“|”,不能整除符號“”;因為符號“∵”,所以的符號“∴”;

二、整除判斷方法:

1.能被2、5整除:末位上的數字能被2、5整除。

2.能被4、25整除:末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

3.能被8、125整除:末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

4.能被3、9整除:各個數位上數字的和能被3、9整除。

5.能被7整除:

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除:

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。

7.能被13整除:

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質:

1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)與(a-b)也能被c整除。

2.如果a能被b整除,c是整數,那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

18.余數及其應用

基本概念:對任意自然數a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0

余數的性質:

①余數小于除數。

②若a、b除以c的余數相同,則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

19.余數、同余與周期

一、同余的定義:

①若兩個整數a、b除以m的余數相同,則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余,記作a≡b(modm),讀作a同余于b模m。

二、同余的性質:

①自身性:a≡a(modm);

②對稱性:若a≡b(modm),則b≡a(modm);

③傳遞性:若a≡b(modm),b≡c(modm),則a≡c(modm);

④和差性:若a≡b(modm),c≡d(modm),則a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);

⑤相乘性:若a≡b(modm),c≡d(modm),則a×c≡b×d(modm);

⑥乘方性:若a≡b(modm),則an≡bn(modm);

⑦同倍性:若a≡b(modm),整數c,則a×c≡b×c(modm×c);

三、關于乘方的預備知識:

①若a=a×b,則ma=ma×b=(ma)b

②若b=c+d則mb=mc+d=mc×md

四、被3、9、11除后的余數特征:

①一個自然數m,n表示m的各個數位上數字的和,則m≡n(mod9)或(mod3);

②一個自然數m,x表示m的各個奇數位上數字的和,y表示m的各個偶數數位上數字的和,則m≡y-x或m≡11-(x-y)(mod11);

五、費爾馬小定理:如果p是質數(素數),a是自然數,且a不能被p整除,則ap-1≡1(modp)。

20.分數與百分數的應用

基本概念與性質:

分數:把單位“1”平均分成幾份,表示這樣的一份或幾份的數。

分數的性質:分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外),分數的大小不變。

分數單位:把單位“1”平均分成幾份,表示這樣一份的數。

百分數:表示一個數是另一個數百分之幾的數。

常用方法:

①逆向思維方法:從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。

②對應思維方法:找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

③轉化思維方法:把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系;把不同的標準(在分數中一般指的是一倍量)下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法:為了解題的方便,可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立,計算出相應的結果,然后再進行調整,求出最后結果。

⑤量不變思維方法:在變化的各個量當中,總有一個量是不變的,不論其他量如何變化,而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況:a、分量發(fā)生變化,總量不變。b、總量發(fā)生變化,但其中有的分量不變。c、總量和分量都發(fā)生變化,但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法:用一種量代替另一種量,從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。

⑦同倍率法:總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法:一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21.分數大小的比較

基本方法:

①通分分子法:使所有分數的分子相同,根據同分子分數大小和分母的關系比較。

②通分分母法:使所有分數的分母相同,根據同分母分數大小和分子的關系比較。

③基準數法:確定一個標準,使所有的分數都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法:當分子和分母的差一定時,分子或分母越大的分數值越大。

⑤倍率比較法:當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小,除了運用以上方法外,可以用同倍率的變化關系比較分數的大小。(具體運用見同倍率變化規(guī)律)

⑥轉化比較方法:把所有分數轉化成小數(求出分數的值)后進行比較。

⑦倍數比較法:用一個數除以另一個數,結果得數和1進行比較。

⑧大小比較法:用一個分數減去另一個分數,得出的數和0比較。

⑨倒數比較法:利用倒數比較大小,然后確定原數的大小。

⑩基準數比較法:確定一個基準數,每一個數與基準數比較。

22.分數拆分

一、將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式:

23.完全平方數

完全平方數特征:

1.末位數字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.約數個數為奇數;反之成立。

5.奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。

6.奇數平方個位數字是奇數;偶數平方個位數字是偶數。

7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。

平方差公式:x2-y2=(x-y)(x+y)

完全平方和公式:(x+y)2=x2+2xy+y2

完全平方差公式:(x-y)2=x2-2xy+y2

24.比和比例

比:兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項,比號后面的數叫比的后項。

比值:比的前項除以后項的商,叫做比值。

比的性質:比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(零除外),比值不變。

比例:表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質:兩個外項積等于兩個內項積(交叉相乘),ad=bc。

正比例:若a擴大或縮小幾倍,b也擴大或縮小幾倍(ab的商不變時),則a與b成正比。

反比例:若a擴大或縮小幾倍,b也縮小或擴大幾倍(ab的積不變時),則a與b成反比。

比例尺:圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

按比例分配:把幾個數按一定比例分成幾份,叫按比例分配。

25.綜合行程

基本概念:行程問題是研究物體運動的,它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.

基本公式:路程=速度×時間;路程÷時間=速度;路程÷速度=時間

關鍵問題:確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題:速度和×相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)

追及問題:追及時間=路程差÷速度差(寫出其他公式)

流水問題:順水行程=(船速+水速)×順水時間

逆水行程=(船速-水速)×逆水時間

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=(順水速度+逆水速度)÷2

水速=(順水速度-逆水速度)÷2

流水問題:關鍵是確定物體所運動的速度,參照以上公式。

過橋問題:關鍵是確定物體所運動的路程,參照以上公式。

主要方法:畫線段圖法

基本題型:已知路程(相遇路程、追及路程)、時間(相遇時間、追及時間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個量,求第三個量。

26.工程問題

基本公式:

①工作總量=工作效率×工作時間

②工作效率=工作總量÷工作時間

③工作時間=工作總量÷工作效率

基本思路:

①假設工作總量為“1”(和總工作量無關);

②假設一個方便的數為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數),利用上述三個基本關系,可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關鍵問題:確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

經驗簡評:合久必分,分久必合。

27.邏輯推理

基本方法簡介:

①條件分析—假設法:假設可能情況中的一種成立,然后按照這個假設去判斷,如果有與題設條件矛盾的情況,說明該假設情況是不成立的,那么與他的相反情況是成立的。例如,假設a是偶數成立,在判斷過程中出現了矛盾,那么a一定是奇數。

②條件分析—列表法:當題設條件比較多,需要多次假設才能完成時,就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中,表格的行、列分別表示不同的對象與情況,觀察表格內的題設情況,運用邏輯規(guī)律進行判斷。

③條件分析——圖表法:當兩個對象之間只有兩種關系時,就可用連線表示兩個對象之間的關系,有連線則表示“是,有”等肯定的狀態(tài),沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如a和b兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài),有連線表示認識,沒有表示不認識。

④邏輯計算:在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外,還要進行相應的計算,根據計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

⑤簡單歸納與推理:根據題目提供的特征和數據,分析其中存在的規(guī)律和方法,并從特殊情況推廣到一般情況,并遞推出相關的關系式,從而得到問題的解決。

28.幾何面積

基本思路:

在一些面積的計算上,不能直接運用公式的情況下,一般需要對圖形進行割補,平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等,使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算;另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法:

1.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設(有些點的設置題目中說的是任意點,解題時可把任意點設置在特殊位置上)。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形,已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)

②梯形對角線連線后,兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

第2篇 初中奧數二次函數知識點總結 950字

一、二次函數概念:

1.二次函數的概念:一般地,形如(是常數,)的函數,叫做二次函數。 這里需要強調:和一元二次方程類似,二次項系數,而可以為零.二次函數的定義域是全體實數.

2. 二次函數的結構特征:

⑴ 等號左邊是函數,右邊是關于自變量的二次式,的次數是2.

⑵ 是常數,是二次項系數,是一次項系數,是常數項.

二、二次函數的基本形式

1. 二次函數基本形式:的性質:

a 的絕對值越大,拋物線的開口越小。

的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

向上軸時,隨的增大而增大;時,隨的增大而減小;時,有最小值.

向下軸時,隨的增大而減小;時,隨的增大而增大;時,有值.

2. 的性質:

上加下減。

的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

向上軸時,隨的增大而增大;時,隨的增大而減小;時,有最小值.

向下軸時,隨的增大而減小;時,隨的增大而增大;時,有值.

3. 的性質:

左加右減。

的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

向上x=h時,隨的增大而增大;時,隨的增大而減小;時,有最小值.

向下x=h時,隨的增大而減小;時,隨的增大而增大;時,有值.

4. 的性質:

的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

向上x=h時,隨的增大而增大;時,隨的增大而減小;時,有最小值.

向下x=h時,隨的增大而減小;時,隨的增大而增大;時,有值.

三、二次函數圖象的平移

1. 平移步驟:

方法一:⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式,確定其頂點坐標;

⑵ 保持拋物線的形狀不變,將其頂點平移到處,具體平移方法如下:

2. 平移規(guī)律

在原有函數的基礎上“值正右移,負左移;值正上移,負下移”.

概括成八個字“左加右減,上加下減”.

方法二:

⑴沿軸平移:向上(下)平移個單位,變成

(或)

⑵沿軸平移:向左(右)平移個單位,變成(或)

四、二次函數與的比較

從解析式上看,與是兩種不同的表達形式,后者通過配方可以得到前者,即,其中.

五、二次函數圖象的畫法

五點繪圖法:利用配方法將二次函數化為頂點式,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標,然后在對稱軸兩側,左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點,(若與軸沒有交點,則取兩組關于對稱軸對稱的點).

畫草圖時應抓住以下幾點:開口方向,對稱軸,頂點,與軸的交點,與軸的交點.

六、二次函數的性質

1. 當時,拋物線開口向上,對稱軸為,頂點坐標為.

當時,隨的增大而減小;當時,隨的增大而增大;當時,有最小值.

第3篇 初中奧數實數的運算知識總結2023 350字

1.加法

同號兩數相加,取相同的符號,并把絕對值相加;絕對值不相等的異號兩數相加,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值;互為相反數的兩個數相加得0;一個數同0相加,仍得這個數.

2.減法:減去一個數等于加上這個數的相反數.

3.乘法

幾個非零實數相乘,積的符號由負因數的個數決定,當負因數有偶數個時,積為正;當負因數有奇數個時,積為負.幾個數相乘,有一個因數為0,積就為0.

4.除法

除以一個數,等于乘上這個數的倒數.兩個數相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數都得0.

5.乘方與開方

(1)an所表示的意義是n個a相乘,正數的任何次冪是正數,負數的偶次冪是正數,負數的奇次冪是負數.

(2)正數和0可以開平方,負數不能開平方;正數、負數和0都可以開立方.

(3)零指數與負指數

第4篇 初中奧數數論問題期末復習知識點總結 500字

一、數論

1.奇偶性問題

奇+奇=偶奇×奇=奇

奇+偶=奇奇×偶=偶

偶+偶=偶偶×偶=偶

2.位值原則

形如:abc=100a+10b+c

3.數的整除特征:

整除數特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各數位上數字的和是3的倍數

5末尾是0或5

9各數位上數字的和是9的倍數

11奇數位上數字的和與偶數位上數字的和,兩者之差是11的倍數

4和25末兩位數是4(或25)的倍數

8和125末三位數是8(或125)的倍數

7、11、13末三位數與前幾位數的差是7(或11或13)的倍數

4.整除性質

①如果c|a、c|b,那么c|(ab)。

②如果bc|a,那么b|a,c|a。

③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。

④如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤a個連續(xù)自然數中必恰有一個數能被a整除。

5.帶余除法

一般地,如果a是整數,b是整數(b≠0),那么一定有另外兩個整數q和r,0≤r

當r=0時,我們稱a能被b整除。

當r≠0時,我們稱a不能被b整除,r為a除以b的余數,q為a除以b的不完全商(亦簡稱為商)。用帶余數除式又可以表示為a÷b=q……r,0≤r

6.分解定理

任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積,即

n=p1×p2×...×pk

7.約數個數與約數和定理

設自然數n的質因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么:

n的約數個數:d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

n的所有約數和:(1+p1+p1+…p1)(1+p2+p2+…p2)…(1+pk+pk+…pk)

第5篇 初中奧數立體幾何學習口訣總結 500字

學好立幾并不難,空間想象是關鍵。點線面體是一家,共筑立幾百花園。

點在線面用屬于,線在面內用包含。四個公理是基礎,推證演算巧周旋。

空間之中兩條線,平行相交和異面。線線平行同方向,等角定理進空間。

判定線和面平行,面中找條平行線。已知線與面平行,過線作面找交線。

要證面和面平行,面中找出兩交線,線面平行若成立,面面平行不用看。

已知面與面平行,線面平行是必然;若與三面都相交,則得兩條平行線。

判定線和面垂直,線垂面中兩交線。兩線垂直同一面,相互平行共伸展。

兩面垂直同一線,一面平行另一面。要讓面與面垂直,面過另面一垂線。

面面垂直成直角,線面垂直記心間。

一面四線定射影,找出斜射一垂線,線線垂直得巧證,三垂定理風采顯。

空間距離和夾角,平行轉化在平面,一找二證三構造,三角形中求答案。

引進向量新工具,計算證明開新篇。空間建系求坐標,向量運算更簡便。

知識創(chuàng)新無止境,學問思辨勇攀登。

多面體和旋轉體,上述內容的延續(xù)。扮演載體新角色,位置關系全在里。

算面積來求體積,基本公式是依據。規(guī)則形體用公式,非規(guī)形體靠化歸。

展開分割好辦法,化難為易新天地。

第6篇 初中奧數求二次函數頂點坐標公式總結 350字

自變量x和因變量y之間存在如下關系:

(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數,a≠0),則稱y為x的二次函數。頂點坐標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

(2)頂點式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k為常數,a≠0).

(3)交點式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2)

(4)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0.

說明:

(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點.

(2)當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時,即對應二次方程ax2+bx+c=0有實數根x1和x2存在時,根據二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數y=ax2+bx+c可轉化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).

第7篇 2023初中奧數恒等變形知識點總結 650字

恒等概念是對兩個代數式而言,如果兩個代數式里的字母換成任意的數值,這兩個代數式的值都相等,就說這兩個代數式恒等.

表示兩個代數式恒等的等式叫做恒等式.

如:a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t,x+7=4都不是恒等式.以前學過的運算律都是恒等式.

將一個代數式換成另一個和它恒等的代數式,叫做恒等變形(或恒等變換).

以恒等變形的意義來看,它不過是將一個代數式,從一種形式變?yōu)榱硪环N形式,但有一個條件,要求變形前和變形后的兩個代數式是恒等的,就是“形”變“值”不變.

如何判斷一個等式是否是恒等式,通常有以下兩種判斷多項式恒等的方法.

1.如果兩個多項式的同次項的系數都相等,那么這兩個多項式是恒等的.

如2x2+3x-4和3x-4+2x2當然恒等,因為這兩個多項式就是同一個.

反之,如果兩個多項式恒等,那么它們的同次項的系數也都相等(兩個多項的常數項也看作是同次項).

2.通過一系列的恒等變形,證明兩個多項式是恒等的.

如:如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式,那么必有:a=p,b=q,c=r

例:求b、c的值,使下面的恒等成立.

x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①

解一:∵①是恒等式,對x的任意數值,等式都成立

設x=1,代入①,得

12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c

c=6

再設x=2,代入①,由于已得c=6,故有

22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6

b=5

∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6

解二:將右邊展開

x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c

=x2-2x+1+bx-b+c

=x2+(b-2)x+(1-b+c)

比較兩邊同次項的系數,得

由②得b=5

將b=5代入③得

1-5+c=2

c=6

∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6

這個問題為依照x-1的冪展開多項式x2+3x+2,這個解題方法叫做待定系數法,它是先假定一個恒等式,其中含有待定的系數,如上例的b、c,然后根據恒等的意義或性質,列出b、c應適合的條件,然后求出待定系數值.

第8篇 初中奧數迎春杯競賽知識點總結 650字

不等式:①用符號〉,=,〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式,不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數,不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數,不等號方向相反。

不等式的解集:①能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解。②一個含有未知數的不等式的所有解,組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。

一元一次不等式:左右兩邊都是整式,只含有一個未知數,且未知數的次數是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組:①關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分,叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程,叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向:

在一元一次不等式中,不像等式那樣,等號是不變的,他是隨著你加或乘的運算改變。

在不等式中,如果加上同一個數(或加上一個正數),不等式符號不改向;例如:a>b,a+c>b+c

在不等式中,如果減去同一個數(或加上一個負數),不等式符號不改向;例如:a>b,a-c>b-c

在不等式中,如果乘以同一個正數,不等號不改向;例如:a>b,a*c>b*c(c>0)

在不等式中,如果乘以同一個負數,不等號改向;例如:a>b,a*c

如果不等式乘以0,那么不等號改為等號

所以在題目中,要求出乘以的數,那么就要看看題中是否出現一元一次不等式,如果出現了,那么不等式乘以的數就不等為0,否則不等式不成立;

第9篇 初中奧數圖形計算公式總結 450字

1 、正方形 c周長 s面積 a邊長 周長=邊長×4 c=4a 面積=邊長×邊長 s=a×a

2 、正方體 v:體積 a:棱長 表面積=棱長×棱長×6 s表=a×a×6 體積=棱長×棱長×棱長 v=a×a×a

3 、長方形

c周長 s面積 a邊長

周長=(長+寬)×2

c=2(a+b)

面積=長×寬

s=ab

4 、長方體

v:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高

(1)表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2

s=2(ab+ah+bh)

(2)體積=長×寬×高

v=abh

5 三角形

s面積 a底 h高

面積=底×高÷2

s=ah÷2

三角形高=面積 ×2÷底

三角形底=面積 ×2÷高

6 平行四邊形

s面積 a底 h高

面積=底×高

s=ah

7 梯形

s面積 a上底 b下底 h高

面積=(上底+下底)×高÷2

s=(a+b)× h÷2

8 圓形

s面積 c周長 ∏ d=直徑 r=半徑

(1)周長=直徑×∏=2×∏×半徑

c=∏d=2∏r

(2)面積=半徑×半徑×∏

9 圓柱體

v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長

(1)側面積=底面周長×高

(2)表面積=側面積+底面積×2

(3)體積=底面積×高

(4)體積=側面積÷2×半徑

10 圓錐體

v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑

體積=底面積×高÷3

奧數常用公式:

和差問題的公式

(和+差)÷2=大數

(和-差)÷2=小數

和倍問題

和÷(倍數-1)=小數

小數×倍數=大數

(或者 和-小數=大數)

第10篇 2023初中奧數數論問題知識點總結 650字

一、數的整除,質數與合數問題:如果問你它們的定義是什么,你可能很快就可以給出答案,但是你是否能羅列一些關于它們的特性呢?數的整除是數論的基礎,對于一些特殊數的整除特性,你必須要牢記于腦。而質數與合數的問題,很多時候是和奇偶性聯系在一起的。

例如:有一道題目這樣說,有兩個質數的和是99,問這兩個質數的乘積是多少?

這看似簡單的一道題目,其實蘊藏了很多知識點。首先你要明白什么是質數,其次你要知道兩數和的特點是什么?怎么樣能得偶數和怎么樣能得奇數和。明白了這兩點,這道題目一眼就可以知道答案。

二、約數與倍數問題:這里面最重要的就是公約數和最小公倍數問題。

關于這個知識點,你必須掌握:1,它們的概念是什么;2,它們的求解方法,即短除和分解質因數,你是否都能靈活應用;3,關于兩個數的約束與倍數運算的技巧是什么?這些問題我們在講課的時候都做了強調而且給出了總結,你是否都做好了筆記,是否都熟練掌握了?

三、余數問題:這是數論里面的難中之難。為什么這么說呢?因為關于余數的問題,一般都是比較綜合的題目。往往一道題目中把約數與倍數,質數與和數等等的知識全都歸結到了一起。

但是萬變不離其宗,我在講課的時間也強調了,余數問題不管怎么變,只要抓住一個式子,什么問題都迎刃而解了:a÷b=c…d.如果你能把老師上課講的內容掌握,真正能理解這個問題,那不管你遇到的是同余問題,還是其它的復雜題目,你都能找到解題的突破口。

四、數論綜合:這一部分既是對數論內容的一個歸納總結,拓展應用,也是對你知識點的一個深入。在這里你必須要記住一些常用的計算技巧。

第11篇 初中奧數計算公式記憶方法總結 1200字

1、基數×點數=總數 總數÷點數=份數總數÷份數=每份數

2、 2倍數×倍數=幾倍數 幾倍數÷1倍數=倍數幾倍數÷倍數=1倍數

3、 3速度×時間=路程 路程÷速度=時間 路程÷時間=速度

4、 4單價×數量=總價 總價÷單價=數量 總價÷數量=單價

5、 工作效率×工作時間=工作總量 工作總量÷工作效率=工作時間工作總量÷工作時間=工作效率

6、 加數+加數=和 和-一個加數=另一個加數

7、 被減數-減數=差 被減數-差=減數 差+減數=被減數

8、 因數×因數=積 積÷一個因數=另一個因數

9、 被除數÷除數=商 被除數÷商=除數 商×除數=被除數

小學數學圖形計算公式

1 、正方形 c周長 s面積 a邊長 周長=邊長×4 c=4a 面積=邊長×邊長 s=a×a

2 、正方體 v:體積 a:棱長 表面積=棱長×棱長×6 s表=a×a×6 體積=棱長×棱長×棱長 v=a×a×a

3 、長方形

c周長 s面積 a邊長

周長=(長+寬)×2

c=2(a+b)

面積=長×寬

s=ab

4 、長方體

v:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高

(1)表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2

s=2(ab+ah+bh)

(2)體積=長×寬×高

v=abh

5 三角形

s面積 a底 h高

面積=底×高÷2

s=ah÷2

三角形高=面積 ×2÷底

三角形底=面積 ×2÷高

6 平行四邊形

s面積 a底 h高

面積=底×高

s=ah

7 梯形

s面積 a上底 b下底 h高

面積=(上底+下底)×高÷2

s=(a+b)× h÷2

8 圓形

s面積 c周長 ∏ d=直徑 r=半徑

(1)周長=直徑×∏=2×∏×半徑

c=∏d=2∏r

(2)面積=半徑×半徑×∏

9 圓柱體

v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長

(1)側面積=底面周長×高

(2)表面積=側面積+底面積×2

(3)體積=底面積×高

(4)體積=側面積÷2×半徑

10 圓錐體

v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑

體積=底面積×高÷3

總數÷總份數=平均數

和差問題的公式

(和+差)÷2=大數

(和-差)÷2=小數

和倍問題

和÷(倍數-1)=小數

小數×倍數=大數

(或者 和-小數=大數)

差倍問題

差÷(倍數-1)=小數

小數×倍數=大數

(或 小數+差=大數)

植樹問題

1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形: ⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么:

株數=段數+1=全長÷株距-1

全長=株距×(株數-1)

株距=全長÷(株數-1)

⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么: 株數=段數=全長÷株距

全長=株距×株數

株距=全長÷株數

⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么:

株數=段數-1=全長÷株距-1

全長=株距×(株數+1)

株距=全長÷(株數+1)

2 封閉線路上的植樹問題的數量關系如下

株數=段數=全長÷株距

全長=株距×株數

株距=全長÷株數

盈虧問題

(盈+虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數

(大盈-小盈)÷兩次分配量之差=參加分配的份數 (大虧-小虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數 相遇問題

相遇路程=速度和×相遇時間

相遇時間=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇時間

追及問題

追及距離=速度差×追及時間

追及時間=追及距離÷速度差

速度差=追及距離÷追及時間

流水問題

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度-水流速度

靜水速度=(順流速度+逆流速度)÷2

水流速度=(順流速度-逆流速度)÷2

濃度問題

溶質的重量+溶劑的重量=溶液的重量

溶質的重量÷溶液的重量×100%=濃度

溶液的重量×濃度=溶質的重量

溶質的重量÷濃度=溶液的重量

利潤與折扣問題

利潤=售出價-成本

利潤率=利潤÷成本×100%=(售出價÷成本-1)×100% 漲跌金額=本金×漲跌百分比

折扣=實際售價÷原

第12篇 初中奧數數論質數合數基礎知識點總結2023 400字

(1)一個數除了1和它本身,不再有別的約數,這個數叫做質數(也叫做素數)。

一個數除了1和它本身,還有別的約數,這個數叫做合數。

(2)自然數除0和1外,按約數的個數分為質數和合數兩類。

任何一個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。

要特別記住:0和1不是質數,也不是合數。

(3)最小的質數是2 ,2是的偶質數,其他質數都為奇數;

最小的合數是4。

(4)質數是一個數,是含有兩個約數的自然數 。

互質數是指兩個數,是公約數只有一的兩個數,組成互質數的兩個數可能是兩個質數(3和5),可能是一個質數和一個合數(3和4),可能是兩個合數(4和9)或1與另一個自然數。

(5)如果一個質數是某個數的約數,那么就說這個質數是這個數的質因數。

把一個合數用質因數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。

(6)100以內的質數有25個:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 .

第13篇 初中奧數代數式知識點總結整理 400字

一、代數式的定義:用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子,叫做代數式。單獨的一個數或字母也是代數式。注意:

(1)單個數字與字母也是代數式;

(2)代數式與公式、等式的區(qū)別是代數式中不含等號,而公式和等式中都含有等號;(3)代數式可按運算關系和運算結果兩種情況理解。

二、整式:單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。

1.單項式:數與字母的積所表示的代數式叫做單項式,單項式中的數字因數叫做單項式的系數;單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數。特別地,單獨一個數或者一個字母也是單項式。

2.多項式:幾個單項式的和叫做多項式,在多項式中,每個單項式叫做多項式的項,其中不含字母的項叫做常數項;在多項式里,次數項的次數就是這個多項式的次數。

三、升(降)冪排列:把一個多項式按某一個字母的指數從小到大(或從大到小)的順序排列起來,叫做把多項式按這個字母升(降)冪排列。

第14篇 蘇科版初中奧數數論約數與倍數知識點總結 650字

(1)公約數和公約數

幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中的一個,叫做這幾個數的公約數。

例如:4是12和16的公約數,可記做:(12 ,16)=4

(2)公倍數和最小公倍數

幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。

例如:36是12和18的最小公倍數,記作[12,18]=36。

(3)公約數和最小公倍數的關系

如果用a和b表示兩個自然數

1、那么這兩個自然數的公約數與最小公倍數關系是:

(a,b)×[a,b]=a×b。

(多用于求最小公倍數)

2、(a,b) ≤ a ,b ≤ [a,b]

3、[a,b]是(a,b)的倍數,(a,b)是[a,b]的約數

4、(a,b)是a+b 和a-b 的約數,也是(a,b)+[a,b]和(a,b)-[a,b]的約數

(4)求公約數的方法很多,主要推薦:短除法、分解質因數法、輾轉相除法。

例如:1、(短除法)用一個數去除30、60、75,都能整除,這個數是多少?

解:∵

(30,60,75)=5×3=15

這個數是15。

2、(分解質因數法)求1001和308的公約數是多少?

解:1001=7×11×13(這個質分解常用到) , 308=7×11×4

所以公約數是7×11=77

在這種方法中,先將數進行質分解,而后取它們“所有共有的質因數之積”便是公約數。

3、(輾轉相除法)用輾轉相除法求4811和1981的公約數。

解:∵4811=2×1981+849,

1981=2×849+283,

849=3×283,

∴(4811,1981)=283。

補充說明:如果要求三個或更多的數的公約數,可以先求其中任意兩個數的公約數,再求這個公約數與另外一個數的公約數,這樣求下去,直至求得最后結果。

(5)約數個數公式

一個合數的約數個數,等于它的質因數分解式中每個質因數的個數(即指數)加1的連乘的積。

例如:求240的約數的個數。

解:∵240=24×31×51,

∴240的約數的個數是

(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,

∴240有20個約數。

第15篇 初中奧數簡單的計數原理知識點總結2023 1150字

分類計數原理與分步計數原理是排列、組合的兩個基本原理。為了讓教師更好的理解教材,我們在這里做一簡要的介紹。

我們先來看下面的問題:

從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車。在一天中,火車有2班,汽車有3班。那么一天中,乘坐這些交流工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?

因為一天中乘火車有2種走法,乘汽車有3種走法,每一種走法都可以從甲地到乙地,所以共有:3+2=5種不同的走法,如下圖所示:

一般的,有如下原理:

分類計數原理(也稱加法原理)完成一件事,有n類辦法,在第1類辦法中有m1種不同的方法,在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有

n=m1+m2+…+mn

種不同的方法。

再看下面的問題:

從甲地到乙地,要先從甲地乘火車到丙地,再于次日從丙地乘汽車到乙地。一天中,火車有2班,汽車有3班。那么兩天中,從甲地到乙地共有多少種不同的走法?(如下圖。)

這個問題與前面的問題不同。在前一問題中,采用乘火車或乘汽車中的任何一種方式,都可以從甲地到乙地,而在這個問題中,必須經過先乘火車、后乘汽車兩個步驟,才能從甲地到乙地。

這里,因為乘火車有2種走法,乘汽車有3種走法,所以乘一次火車再接著乘一次汽車從甲地到乙地,共有2×3=6種不同的走法。

所有走法

火車1──汽車1

火車1──汽車2

火車1──汽車3

火車2──汽車1

火車2──汽車2

火車2──汽車3

一般的,有如下原理:

分步計數原理(也稱乘法原理)完成一件事,需要分成n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法。那么完成這件事共有

n=m1×m2×…×mn

種不同的方法。

例書架的第1層放有4本不同的科技書,第2層放有3本不同的漫畫書,第3層放有2本不同的文學書。

(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同的取法?

解:(1)從書架上任取1本書,有3類辦法:第1類辦法是從第1層取1本科技書,有4種方法;第2類辦法是從第2層取1本漫畫書,有3種方法;第3類辦法是從第3層取1本文學書,有2種方法。根據分類計數原理,不同取法的種數是

n=m1+m2+m3=4+3+2=9

答:從書架上任取1本書,有9種不同的取法。

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,可以分成3個步驟完成:第1步從第1層取1本科技書,有4種方法;第2步從第2層取1本漫畫書,有3種方法;第3步從第3層取1本文學書,有2種方法。根據分步計數原理,從書架的第1、2、3層各取1本書,不同取法的種數是

n=m1×m2×m3=4×3×2=24

答:從書架的第1、2、3層各取1本書,有24種不同的取法。

分類計數原理與分步計數原理,回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題。區(qū)別在于:分類計數原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步計數原理針對的是“分步”問題,各步驟中的方法相互依存,只有各個步驟都完成才算做完這件事。

初中奧數28條知識點總結(十五篇)

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