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高一數(shù)學(xué)必修總結(jié)(十六篇)

發(fā)布時(shí)間:2023-01-23 14:03:08 查看人數(shù):61

高一數(shù)學(xué)必修總結(jié)

【第1篇 高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)范例

一、集合有關(guān)概念

1. 集合的含義

2. 集合的中元素的三個(gè)特性:

(1) 元素的確定性,

(2) 元素的互異性,

(3) 元素的無序性,

3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法:列舉法與描述法。

? 注意:常用數(shù)集及其記法:

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:n

正整數(shù)集 n_或 n+ 整數(shù)集z 有理數(shù)集q 實(shí)數(shù)集r

1) 列舉法:{a,b,c……}

2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{_?r| _-3>;2} ,{_| _-3>;2}

3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4) venn圖:

4、集合的分類:

(1) 有限集 含有有限個(gè)元素的集合

(2) 無限集 含有無限個(gè)元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意: 有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a

2.“相等”關(guān)系:a=b (5≥5,且5≤5,則5=5)

實(shí)例:設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即:① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。a?a

②真子集:如果a?b,且a? b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)

③如果 a?b, b?c ,那么 a?c

④ 如果a?b 同時(shí) b?a 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

? 有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集

三、集合的運(yùn)算

運(yùn)算類型 交 集 并 集 補(bǔ) 集

定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.記作a b(讀作‘a(chǎn)交b’),即a b={_|_ a,且_ b}.

由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集.記作:a b(讀作‘a(chǎn)并b’),即a b ={_|_ a,或_ b}).

設(shè)s是一個(gè)集合,a是s的一個(gè)子集,由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補(bǔ)集(或余集)

更多資料請(qǐng)點(diǎn)擊》》http://class.hujiang.com/category/131181576619/p28_292

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念:設(shè)a、b是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)_,在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(_)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù).記作: y=f(_),_∈a.其中,_叫做自變量,_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域.

注意:

1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的._的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零,

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

2.值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)p(_,y)的集合c,叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象.c上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(_,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_),反過來,以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)_、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(_,y),均在c上 .

(2) 畫法

a、 描點(diǎn)法:

b、 圖象變換法

常用變換方法有三種

1) 平移變換

2) 伸縮變換

3) 對(duì)稱變換

4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.映射

一般地,設(shè)a、b是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素_,在集合b中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:a b為從集合a到集合b的一個(gè)映射。記作f:a→b

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.

補(bǔ)充:復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二.函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

(1)增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域?yàn)閕,如果對(duì)于定義域i內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量_1,_2,當(dāng)_1

如果對(duì)于區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值_1,_2,當(dāng)_1f(_2),那么就說f(_)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間d稱為y=f(_)的單調(diào)減區(qū)間.

注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);

(2) 圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(_)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(a) 定義法:

○1 任取_1,_2∈d,且_1

○2 作差f(_1)-f(_2);

○3 變形(通常是因式分解和配方);

○4 定號(hào)(即判斷差f(_1)-f(_2)的正負(fù));

○5 下結(jié)論(指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).

(b)圖象法(從圖象上看升降)

(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”

注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

(1)偶函數(shù)

一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函數(shù).

(2).奇函數(shù)

一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函數(shù).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

○2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;

○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0,則f(_)是偶函數(shù);若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0,則f(_)是奇函數(shù).

(2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定;

(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:

1) 湊配法

2) 待定系數(shù)法

3) 換元法

4) 消參法

10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁(yè))

○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

○2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最大值f(b);

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);

【第2篇 人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)語青春是一場(chǎng)遠(yuǎn)行,回不去了。青春是一場(chǎng)相逢,忘不掉了。但青春卻留給我們最寶貴的友情。友情其實(shí)很簡(jiǎn)單,只要那么一聲簡(jiǎn)短的問候、一句輕輕的諒解、一份淡淡的惦記,就足矣。當(dāng)我們?cè)诋厴I(yè)季痛哭流涕地說出再見之后,請(qǐng)不要讓再見成了再也不見。這篇《人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》是高一頻道為你整理的,希望你喜歡!

空間兩條直線只有三種位置關(guān)系:平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類:

(1)共面:平行、相交

(2)異面:

異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。

異面直線判定定理:用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角:范圍為(0°,90°)esp.空間向量法

兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法

2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類:

(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線;(2)沒有公共點(diǎn)——平行或異面

直線和平面的位置關(guān)系:

直線和平面只有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。

空間向量法(找平面的法向量)

規(guī)定:a、直線與平面垂直時(shí),所成的角為直角,b、直線與平面平行或在平面內(nèi),所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°,90°]

最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直

直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)

直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn),那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。

多面體

1、棱柱

棱柱的定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每?jī)蓚€(gè)四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

棱柱的性質(zhì)

(1)側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形

(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對(duì)角面)是平行四邊形

2、棱錐

棱錐的定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的性質(zhì):

(1)側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形

(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方

3、正棱錐

正棱錐的定義:如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質(zhì):

(1)各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。

(3)多個(gè)特殊的直角三角形

a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對(duì)異面直線,若有兩對(duì)互相垂直,則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

兩個(gè)平面的位置關(guān)系

(1)兩個(gè)平面互相平行的定義:空間兩平面沒有公共點(diǎn)

(2)兩個(gè)平面的位置關(guān)系:

兩個(gè)平面平行-----沒有公共點(diǎn);兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。

a、平行

兩個(gè)平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么交線平行。b、相交

二面角

(1)半平面:平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分,其中每一個(gè)部分叫做半平面。

(2)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°,180°]

(3)二面角的棱:這一條直線叫做二面角的棱。

(4)二面角的面:這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。

兩平面垂直

兩平面垂直的定義:兩平面相交,如果所成的角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直。記為⊥

兩平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平

二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系)。

【第3篇 2023高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章 集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性:

(1)元素的確定性如:世界上的山

(2)元素的互異性如:由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}

(3)元素的無序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

注意:常用數(shù)集及其記法:_ kb 1.c om

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:n

正整數(shù)集 :n_或 n+

整數(shù)集: z

有理數(shù)集: q

實(shí)數(shù)集: r

1)列舉法:{a,b,c……}

2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合{_?r|_-3>2} ,{_|_-3>2}

3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4) venn圖:

4、集合的分類:

(1)有限集 含有有限個(gè)元素的集合

(2)無限集 含有無限個(gè)元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意: 有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a

2.“相等”關(guān)系:a=b (5≥5,且5≤5,則5=5)

實(shí)例:設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即:① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。a?a

② 真子集:如果a?b,且a? b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)

③ 如果 a?b, b?c ,那么 a?c

④ 如果a?b 同時(shí) b?a 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

4.子集個(gè)數(shù):

有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集,含有2n-1個(gè)非空子集,含有2n-1個(gè)非空真子集

三、集合的運(yùn)算

運(yùn)算類型 交 集 并 集 補(bǔ) 集

定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.記作a b(讀作‘a(chǎn)交b’),即a b={_|_ a,且_ b}.

由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集.記作:a b(讀作‘a(chǎn)并b’),即a b ={_|_ a,或_ b}).

設(shè)s是一個(gè)集合,a是s的一個(gè)子集,由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補(bǔ)集(或余集)

記作 ,即

csa=

質(zhì) a a=a

a φ=φ

a b=b a

a b a

a b b

a a=a

a φ=a

a b=b a

a b a

a b b

(cua) (cub)

= cu (a b)

(cua) (cub)

= cu(a b)

a (cua)=u

a (cua)= φ.

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念

設(shè)a、b是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)_,在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù).記作: y=f(_),_∈a.其中,_叫做自變量,_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域.

注意:

1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零,

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));

②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

2.值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法

3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義:

在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)p(_,y)的集合c,叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象.c上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(_,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_),反過來,以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)_、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(_,y),均在c上 .

(2) 畫法

1.描點(diǎn)法: 2.圖象變換法:常用變換方法有三種:1)平移變換2)伸縮變換3)對(duì)稱變換

4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 (2)無窮區(qū)間 (3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.映射

一般地,設(shè)a、b是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素_,在集合b中都有確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:a b為從集合a到集合b的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系):a(原象) b(象)”

對(duì)于映射f:a→b來說,則應(yīng)滿足:

(1)集合a中的每一個(gè)元素,在集合b中都有象,并且象是的;

(2)集合a中不同的元素,在集合b中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);

(3)不要求集合b中的每一個(gè)元素在集合a中都有原象。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.

補(bǔ)充:復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二.函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

(1)增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域?yàn)閕,如果對(duì)于定義域i內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量_1,_2,當(dāng)_1

如果對(duì)于區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值_1,_2,當(dāng)_1

注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);

(2) 圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(_)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(a) 定義法:

(1)任取_1,_2∈d,且_1

(2)作差f(_1)-f(_2);或者做商

(3)變形(通常是因式分解和配方);

(4)定號(hào)(即判斷差f(_1)-f(_2)的正負(fù));

(5)下結(jié)論(指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).

(b)圖象法(從圖象上看升降)

(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”

注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

(1)偶函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函數(shù).

(2)奇函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函數(shù).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

○2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;

○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0,則f(_)是偶函數(shù);若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0,則f(_)是奇函數(shù).

注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱,(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定; (3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .

10、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法

11.函數(shù)(小)值

○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(?。┲?/p>

○2 利用圖象求函數(shù)的(小)值

○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(?。┲担?/p>

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b);

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);

第三章 基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 >1,且 ∈ _.

負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作 。

當(dāng) 是奇數(shù)時(shí), ,當(dāng) 是偶數(shù)時(shí),

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

,

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1) · ;

(2) ;

(3) .

(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù),其中_是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)閞.

注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>1 0<1

定義域 r 定義域 r

值域y>0 值域y>0

在r上單調(diào)遞增 在r上單調(diào)遞減

非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1) 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)

注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:

(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;

(2)若 ,則 ; 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ;

(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù) ,總有 ;

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

(一)對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念:

一般地,如果 ,那么數(shù) 叫做以 為底 的對(duì)數(shù),記作: ( — 底數(shù), — 真數(shù), — 對(duì)數(shù)式)

說明:○1 注意底數(shù)的限制 ,且 ;

○2 ;

○3 注意對(duì)數(shù)的書寫格式.

兩個(gè)重要對(duì)數(shù):

○1 常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù) ;

○2 自然對(duì)數(shù):以無理數(shù) 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) .

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

冪值 真數(shù)

= n = b

底數(shù)

指數(shù) 對(duì)數(shù)

(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果 ,且 , , ,那么:

○1 · + ;

○2 - ;

○3 .

注意:換底公式: ( ,且 ; ,且 ; ).

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論:(1) ;(2) .

(3)、重要的公式 ①、負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù); ②、 , ③、對(duì)數(shù)恒等式

(二)對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù) ,且 叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中 是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).

注意:○1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如: , 都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).

○2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制: ,且 .

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

a>1 0<1

定義域_>0 定義域_>0

值域?yàn)閞 值域?yàn)閞

在r上遞增 在r上遞減

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(1,0) 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(1,0)

(三)冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義:一般地,形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中 為常數(shù).

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.

(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(diǎn)(1,1);

(2) 時(shí),冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在區(qū)間 上是增函數(shù).特別地,當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;

(3) 時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng) 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸,當(dāng) 趨于 時(shí),圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.

第四章 函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對(duì)于函數(shù) ,把使 成立的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù) 的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù) 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即:方程 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數(shù) 有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:

○1 (代數(shù)法)求方程 的實(shí)數(shù)根;

○2 (幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn):

二次函數(shù) .

(1)△>0,方程 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)△=0,方程 有兩相等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

(3)△<0,方程 無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn).

5.函數(shù)的模型

【第4篇 2023高一數(shù)學(xué)必修四公式總結(jié)

高一數(shù)學(xué)公式總結(jié)

復(fù)習(xí)指南

1. 注重基礎(chǔ)和通性通法

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,應(yīng)立足教材,學(xué)好用好教材,深入地鉆研教材,挖掘教材的潛力,注意避免眼高手低,偏重難題,搞題海戰(zhàn)術(shù),輕視基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的不良傾向,當(dāng)然注重基礎(chǔ)和通性通法的同時(shí),應(yīng)注重一題多解的探索,經(jīng)常利用變式訓(xùn)練和變式引申來提高自己的分析問題、解決問題的能力。

2.注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

平時(shí)學(xué)習(xí)過程中應(yīng)避免只停留在“懂”上,因?yàn)槁牰瞬灰欢〞?huì),會(huì)了不一定對(duì),對(duì)了不一定美。即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種境界:聽——懂——會(huì)——對(duì)——美。

我們今后要在第五種境界上下功夫,每年的高考結(jié)束,結(jié)果下來都可以發(fā)現(xiàn)我們宿遷市的考生與南方的差距較大,這就是其中的一個(gè)原因。

另外我們的學(xué)生的解題的素養(yǎng)不夠,比如僅僅一點(diǎn)“規(guī)范答題”問題,我們老師也強(qiáng)調(diào)很多遍,但作為學(xué)生的你們又有幾人能夠聽進(jìn)去!

希望大家還是能夠做到我經(jīng)常所講的做題的“三觀” :

1. 審題觀 2. 思想方法觀 3. 步驟清晰、層次分明觀

3. 注重應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)

注重培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析實(shí)際問題,提高數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的目的。

4.培養(yǎng)學(xué)習(xí)與反思的整合

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為知識(shí)并不是簡(jiǎn)單的由教師或者其他人傳授給學(xué)生的,而只能由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn),主動(dòng)地加以建構(gòu)。學(xué)習(xí)是一個(gè)創(chuàng)造的過程,一個(gè)批判、選擇、和存疑的過程,一個(gè)充滿想象、探索和體驗(yàn)的過程。你不想學(xué),老師強(qiáng)行的逼迫是不容易的或者說是作用不大,俗話說“強(qiáng)扭的瓜不甜”嘛!數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要對(duì)概念、結(jié)論和技能進(jìn)行記憶,積累和模仿,而且還要?jiǎng)邮謱?shí)踐,自主探索,并且在獲得知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行反思和修正。(這也就是我們經(jīng)常將讓大家一定要好好預(yù)習(xí),養(yǎng)成自學(xué)的好習(xí)慣。)記得有一位中科院的教授曾經(jīng)給“科學(xué)”下了一個(gè)定義:科學(xué)就是以懷疑和接納新知識(shí)作為進(jìn)步的標(biāo)準(zhǔn)的一門學(xué)問,仔細(xì)想來確實(shí)很有道理!

所以我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中要注意反思,只有這樣才能使內(nèi)容得到鞏固,知識(shí)的得到拓展,能力得到提高,思維得到優(yōu)化,創(chuàng)新能力得到真正的發(fā)展,希望大能夠讓數(shù)學(xué)反思成為我們的自然的習(xí)慣!

5.注重平時(shí)的聽課效率

聽課效率高不僅可以讓自己深刻的理解知識(shí),而且事半功倍,可以省好多的時(shí)間。而有些同學(xué)則認(rèn)為上課時(shí)聽不到什么,索性就不聽,抓緊課堂上的每一點(diǎn)時(shí)間做題,多做幾道題,心里就踏實(shí)。這種認(rèn)識(shí)是不科學(xué)的,想象如果上課沒有用的話,國(guó)家還開辦學(xué)校干嘛?只要印刷課本就足夠了,學(xué)生買了書就可以自己學(xué)習(xí)到時(shí)候參加考試就行了。

想想好多東西還是在課堂上聆聽的,聽聽老師對(duì)問題的分析和解題技巧,老師是如何想到的,與自己預(yù)習(xí)時(shí)的想法比較。課堂上記下比較重要的東西,更重要的是跟著老師的思路,注重老師對(duì)題目的分析過程。課后寧愿花時(shí)間去整理筆記,因?yàn)檎砉P記實(shí)際上是一種知識(shí)的整合和再創(chuàng)造!回憶課堂上老師是怎樣講的,自己在整理時(shí)有比較好的想法,就記下來,抓住自己思維的火花,因?yàn)檩^為深刻的思維火花往往是稍縱即逝的。

在這里我再一次強(qiáng)調(diào)聽課要做到“五得”

? 聽得懂 ? 想得通 ? 記得住 ? 說得出 ? 用得上2

6. 注重思想方法的學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法,它是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括,它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中,也是歷年來高考數(shù)學(xué)命題的特點(diǎn)之一。不少學(xué)者認(rèn)為:

“傳授知識(shí)”是數(shù)學(xué)的一種境界,加上“能力培養(yǎng)”是稍高的境界,再加上“方法滲透”是較高的境界,而再加上“提高修養(yǎng)(指數(shù)學(xué)文化和非智力引力的介入)”則是境界。作為學(xué)生一定要深刻理解數(shù)學(xué)的思想方法,它是數(shù)學(xué)的精髓,只有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,才能把數(shù)學(xué)的知識(shí)和技能轉(zhuǎn)化為分析問題和解決問題的能力,才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn),才能形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。即使在以后我們走上社會(huì),在工作崗位上我們的這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會(huì)內(nèi)化為自身的較深的修養(yǎng),從而使得自己的氣質(zhì)得以升華,它對(duì)于我們今后的做人和處事有很大的指導(dǎo)意義,再加上我們的人文素養(yǎng)就可以造就自己哲學(xué)修養(yǎng)。

真心希望我的這些忠告能夠?qū)δ憬窈蟮膶W(xué)習(xí)有所幫助,果真如此,也就聊以欣慰了!

基本三角函數(shù)

ⅱ ? 終邊落在_軸上的角的集合:?????,??z?? 終邊落在y軸上的角的集合:????????????,??z????,??z?終邊落在與坐標(biāo)軸上的角的集合:??

?? 22????

360度?2? 弧度

l? r

?11s?l r?? r2

221???180.弧度

180 1 弧度?度180??? 弧度?倒數(shù)關(guān)系:sin?csc??1 正六邊形對(duì)角線上對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)之積為1

cos?sec??1

tan2??1?sec2?

平方關(guān)系:sin2??cos??1 21?cot2??csc2?

乘積關(guān)系:sin??tan?cos? , 頂點(diǎn)的三角函數(shù)等于相鄰的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)乘積

ⅲ 誘導(dǎo)公式? 終邊相同的角的三角函數(shù)值相等

sin???2k???sin? , k?z cos???2k???cos? , k?z

tan???2k???tan? , k?z

?角?與角??關(guān)于_軸對(duì)稱sin??????sin?

cos?????cos?

tan??????tan?

?角???與角?關(guān)于y軸對(duì)稱sin??????sin?

cos???????cos?

tan???????tan? ?角???與角?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱sin???????sin?

tan??????tan?cos???????cos?

?角?

2??與角?關(guān)于y?_對(duì)稱???sin

?????cos?cos??2?? ??????cos?????sin?

cos??????sin??2??2?

??????tan?????cot?tan??????cot??2??2?

上述的誘導(dǎo)公式記憶口訣:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”

ⅳ 周期問題

?

2?y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t????y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??

y?asin??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b ?0 , t?2?y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?2?

2?y?acos??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b?0 , t?????t??y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 ,

?

y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?

?

??

y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?

?

ⅴ 三角函數(shù)的性質(zhì)

y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??怎樣由y?sin_變化為y?asin??_????k ? 振幅變化:y?sin_左右伸縮變化:

y 左右平移變化 _??)

上下平移變化y?asin(?_??)?k

ⅵ平面向量共線定理:一般地,對(duì)于兩個(gè)向量 a,a?0,b,如果有

?

一個(gè)實(shí)數(shù)?,使得??,?,則與與是共線向量 那么又且只有一個(gè)實(shí)數(shù)?,使得??.

ⅶ 線段的定比分點(diǎn)

?

.

op?

??當(dāng)??1時(shí) ?當(dāng)??1時(shí)

ⅷ 向量的一個(gè)定理的類似推廣

向量共線定理: ?? ??

?推廣

? 平面向量基本定理: a??e ??e , ??其中e1,e2?1122

??

?不共線的向量

?

?推廣

??1e1 ??2e2 ??3e3,

空間向量基本定理: ?? 其中e,e,e為該空間內(nèi)的三個(gè)123??

?不共面的向量???

ⅸ一般地,設(shè)向量??_1,y1?,??_2,y2?且?,如果∥那么_1y2?_2y1?0 反過來,如果_1y2?_2y1?0,則∥.

ⅹ 一般地,對(duì)于兩個(gè)非零向量a,b 有 ???,其中θ為兩向量的夾角。

cos??

?

_1_2?y1y2_1

2?

y1

2

_2

2

?

y2

2

特別的,??? ?

2

?

如果 ??_1,y1? , ??_2,y2? 且? , 則??_1_2?y1y2特別的 , a?b?_1_2?y1y2?0

? 若正n邊形a1a2???an的中心為o , 則oa1?oa2?????oan?

三角形中的三角問題

a?b?c ?a?b?c?? ,a?b?c??,?-2

2

2

2

2

?a?b??c?

sin?a?b??sin?c? cos?a?b???cos?c? sin???cos??

?2??2?

?a?b??c?cos???sin??

?2??2?

?正弦定理:

abca?b?c

???2r? sinasinbsincsina?sinb?sinc

余弦定理:

a2?b2?c2?2bccosa , b2?a2?c2?2accosb c?a?b?2abcosc

2

2

2

b2?c2?a2a2?c2?b2cosa ?, cosb ?

2bc2ac

變形: 222

a?b?c

cosc ?2ab

?tana?tanb?tanc?tanatanbtanc

三角公式以及恒等變換

?兩角的和與差公式:sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)

sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)

cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)tan??tan?

, t(???)

1?tan?tan?tan??tan?

tan?????? , t(???)

1?tan?tan?tan??????

?二倍角公式:

sin2??2sin?cos?

cos2??2cos??1?1?2sin??cos??sin?

2tan?

tan2??

1?tan2?

2

2

2

2

tan??tan??tan??????1?tan?tan??

變形: tan??tan??tan??????1?tan?tan??

tan??tan??tan??tan?tan?tan?

其中?,?,?為三角形的三個(gè)內(nèi)角

?半角公式:

sin

?

2

??

1?cos2

?coscos??

22

2

?

tan

?

2

??

1?cossin?1?cos?

??

1?cos?1?cos?sin?

?降冪擴(kuò)角公式:cos2??1?cos2?, sin2??1?cos2?

2

1

?sin??????sin??????21

?積化和差公式:cos?sin???sin??????sin??????

21

cos?cos???cos??????cos??????

21

sin?sin????cos??????cos??????

2

sin?cos????????????

sin??sin??2sin??cos??

22??????????????

sin??sin??2cos??sin??

?和差化積公式:?2??2?

?????????

cos??cos??2cos??cos?

?2??2?????????

cos??cos???2sin??sin?

?2??2

2tan

sin??

s?s?2sc

( s?s?2cs)

c?c?2cc??c?c??2ss

?

???

?

1?tan2

2

?萬能公式:

1?tan2

cos??

1?tan2

?2

( s?t?c?? )

tan??

2tan

?

1?tan2

2

3

?三倍角公式:sin3??3sin??4sin?

3tan??tan3?

tan3??

31?3tan2?cos3??4cos??3cos?

“三四立,四立三,中間橫個(gè)小扁擔(dān)”

?

1. y?asin??bcos??

b

aa

2. y?acos??bsin??a2?b2sin????? 其中 , tan??

bb

? a2?b2cos????? 其中 , tan??ab

3. y?asin??bcos??a2?b2sin????? 其中 , tan??

aa

??a2?b2cos????? 其中 , tan??b

a2?b2sin????? 其中 , tan??

4. y?acos??bsin??

a2?b2sin?????

a

bb

?a2?b2cos????? 其中 , tan??a

注:不同的形式有不同的化歸,相同的形式也有不同的化歸,進(jìn)而可以 ??a2?b2sin????? 其中 , tan??求解最值問題. 不需要死記公式,只要記憶 1. 的推導(dǎo)即表達(dá)技巧,其它的就可以直接寫出.

一般是表達(dá)式第一項(xiàng)是正弦的就用兩角和與差的正弦來靠,第一項(xiàng)是余弦的就用兩角和與差的與弦來靠. 比較容易理解和掌握.

tan??tan?

, t(???)

? 補(bǔ)充: 1. 由公式 1?tan?tan?

tan??tan?

tan?????? , t(???)

1?tan?tan?

tan??????

第8 / 10頁(yè)

可以推導(dǎo) : 當(dāng)??????? 在有些題目中應(yīng)用廣泛。

2. tan??tan??tan?????tan?tan??tan????? 3. 柯西不等式(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?r.

補(bǔ)充

1.常見三角不等式:(1)若_?(0,

(2) 若_?(0,

2

2

2

2

2

?

4

時(shí), ??z , ?1?tan???1?tan???2

?

2

),則sin_?_?tan_.

?

2

22

2. sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式);

),則1?sin_?cos_?|sin_|?|cos_|?1.

cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

asin??bcos?

???)(輔助角?所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決定,

b

tan?? ).

a

3. 三倍角公式 :sin3??3sin??4sin??4sin?sin(

3

?

??)sin(??). 33

?

cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??).333tan??tan3???

tan3???tan?tan(??)tan(??).

1?3tan2?33

4.三角形面積定理:(1)s?

??

111

aha?bhb?chc(ha、hb、hc分別表示a、b、c邊222

上的高).

111

absinc?bcsina?

casinb.(3)222

s?oab?5.三角形內(nèi)角和定理在△abc中,有a?b?c???c???(a?b)

c?a?b????2c?2??2(a?b).

222

(2)s?

6. 正弦型函數(shù)y?asin(?_??)的對(duì)稱軸為_?

k??

?

??

?

(k?z);對(duì)稱中心

為(

k???

,0)(k?z);類似可得余弦函數(shù)型的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心; ?

第9 / 10頁(yè)

〈三〉易錯(cuò)點(diǎn)提示: 1. 在解三角問題時(shí),你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎?你注意到正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)的有界性了嗎? 2. 在三角中,你知道1等于什么嗎?(

這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”

的種種代換有著廣泛的應(yīng)用.

3. 你還記得三角化簡(jiǎn)的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角,異名化同名,高次化低次) 4. 你還記得在弧度制下弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎?(

【第5篇 2023高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)集合有關(guān)概念

集合的含義

集合的中元素的三個(gè)特性:

元素的確定性如:世界上的山

元素的互異性如:由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}

元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}

集合的表示方法:列舉法與描述法。

注意:常用數(shù)集及其記法:

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:n

正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實(shí)數(shù)集r

列舉法:{a,b,c……}

描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{_(r|_-3>2},{_|_-3>2}

語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

venn圖:

4、集合的分類:

有限集含有有限個(gè)元素的集合

無限集含有無限個(gè)元素的集合

空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}

高一數(shù)學(xué)集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。

反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba

2.“相等”關(guān)系:a=b(5≥5,且5≤5,則5=5)

實(shí)例:設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

即:①任何一個(gè)集合是它本身的子集。a(a

②真子集:如果a(b,且a(b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)

③如果a(b,b(c,那么a(c

④如果a(b同時(shí)b(a那么a=b

3.不含任何元素的集合叫做空集,記為φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集

高一數(shù)學(xué)考試命題趨勢(shì)

1.函數(shù)知識(shí):基本初等函數(shù)性質(zhì)的考查,以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為背景的函數(shù)問題;以向量知識(shí)為背景的函數(shù)問題;從具體函數(shù)的考查轉(zhuǎn)向抽象函數(shù)考查;從重結(jié)果考查轉(zhuǎn)向重過程考查;從熟悉情景的考查轉(zhuǎn)向新穎情景的考查。

2.向量知識(shí):向量具有數(shù)與形的雙重性,高考中向量試題的命題趨向:考查平面向量的基本概念和運(yùn)算律;考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算;考查平面向量與幾何、三角、代數(shù)等學(xué)科的綜合性問題。

3.不等式知識(shí):突出工具性,淡化獨(dú)立性,突出解,是不等式命題的新取向。高考中不等式試題的命題趨向:基本的線性規(guī)劃問題為必考內(nèi)容,不等式的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、二交函數(shù)等結(jié)合起來,考查不等式的性質(zhì)、最值、函數(shù)的單調(diào)性等;證明不等式的試題,多以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為背景,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題,綜合性強(qiáng),能力要求高;解不等式的試題,往往與公式、根式和參數(shù)的討論聯(lián)系在一起??疾閷W(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分類討論能力;以當(dāng)前經(jīng)濟(jì)、社會(huì)生產(chǎn)、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題仍將是高考的熱點(diǎn),主要考查學(xué)生閱讀理解能力以及分析問題、解決問題的能力。

4.立體幾何知識(shí):2023年已經(jīng)變得簡(jiǎn)單,2023年難度依然不大,基本的三視圖的考查難點(diǎn)不大,以及球與幾何體的組合體,涉及切,接的問題,線面垂直、平行位置關(guān)系的考查,已經(jīng)線面角,面面角和幾何體的體積計(jì)算等問題,都是重點(diǎn)考查內(nèi)容。

5.解析幾何知識(shí):小題主要涉及圓錐曲線方程,和直線與圓的位置關(guān)系,以及圓錐曲線幾何性質(zhì)的考查,極坐標(biāo)下的解析幾何知識(shí),解答題主要考查直線和圓的知識(shí),直線與圓錐曲線的知識(shí),涉及圓錐曲線方程,直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,定點(diǎn),定值,范圍的考查,考試的難度降低。

6.導(dǎo)數(shù)知識(shí):導(dǎo)數(shù)的考查還是以理科19題,文科20題的形式給出,從常見函數(shù)入手,導(dǎo)數(shù)工具作用(切線和單調(diào)性)的考查,綜合性強(qiáng),能力要求高;往往與公式、導(dǎo)數(shù)往往與參數(shù)的討論聯(lián)系在一起,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,但今年的難點(diǎn)整體偏低。

7.開放型創(chuàng)新題:答案不,或是邏輯推理題,以及解答題中的開放型試題的考查,都是重點(diǎn),理科13,文科14題。

【第6篇 高一數(shù)學(xué)必修二基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱:

定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱

幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐

幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái):

定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)

幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱:

定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐:

定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái):

定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分

幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

(7)球體:

定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn):①原來與_軸平行的線段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來的一半。

【第7篇 高一數(shù)學(xué)必修二各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)語如果把高中三年去挑戰(zhàn)高考看作一次越野長(zhǎng)跑的話,那么高中二年級(jí)是這個(gè)長(zhǎng)跑的中段。與起點(diǎn)相比,它少了許多的鼓勵(lì)、期待,與終點(diǎn)相比,它少了許多的掌聲、加油聲。它是孤身奮斗的階段,是一個(gè)耐力、意志、自控力比拚的階段。但它同時(shí)是一個(gè)厚實(shí)莊重的階段,這個(gè)時(shí)期形成的優(yōu)勢(shì)有實(shí)力。高二頻道為你整理了《高一數(shù)學(xué)必修二各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》,學(xué)習(xí)路上,為你加油!

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

閱讀與思考畫法幾何與蒙日

1.3空間幾何體的表面積與體積

探究與發(fā)現(xiàn)祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積

實(shí)習(xí)作業(yè)

小結(jié)

復(fù)習(xí)參考題

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

閱讀與思考?xì)W幾里得《原本》與公理化方法

小結(jié)

復(fù)習(xí)參考題

第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角與斜率

探究與發(fā)現(xiàn)魔術(shù)師的地毯

3.2直線的方程

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

閱讀與思考笛卡兒與解析幾何

小結(jié)

復(fù)習(xí)參考題

第四章圓與方程

4.1圓的方程

閱讀與思考坐標(biāo)法與機(jī)器證明

4.2直線、圓的位置關(guān)系

4.3空間直角坐標(biāo)系

信息技術(shù)應(yīng)用用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡:圓

小結(jié)

復(fù)習(xí)參考題

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

一、定義與定義式:

自變量_和因變量y有如下關(guān)系:

y=k_+b

則此時(shí)稱y是_的一次函數(shù)。

特別地,當(dāng)b=0時(shí),y是_的正比例函數(shù)。

即:y=k_(k為常數(shù),k≠0)

二、一次函數(shù)的性質(zhì):

1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的_的變化值成正比例,比值為k

即:y=k_+b(k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù))

2.當(dāng)_=0時(shí),b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):

1.作法與圖形:通過如下3個(gè)步驟

(1)列表;

(2)描點(diǎn);

(3)連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn),并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與_軸和y軸的交點(diǎn))

2.性質(zhì):(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)p(_,y),都滿足等式:y=k_+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0,b),與_軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。

3.k,b與函數(shù)圖像所在象限:

當(dāng)k>0時(shí),直線必通過一、三象限,y隨_的增大而增大;

當(dāng)k<0時(shí),直線必通過二、四象限,y隨_的增大而減小。

當(dāng)b>0時(shí),直線必通過一、二象限;

當(dāng)b=0時(shí),直線通過原點(diǎn)

當(dāng)b<0時(shí),直線必通過三、四象限。

特別地,當(dāng)b=o時(shí),直線通過原點(diǎn)o(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時(shí),當(dāng)k>0時(shí),直線只通過一、三象限;當(dāng)k<0時(shí),直線只通過二、四象限。

四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式:

已知點(diǎn)a(_1,y1);b(_2,y2),請(qǐng)確定過點(diǎn)a、b的一次函數(shù)的表達(dá)式。

(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=k_+b。

(2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)p(_,y),都滿足等式y(tǒng)=k_+b。所以可以列出2個(gè)方程:y1=k_1+b……①和y2=k_2+b……②

(3)解這個(gè)二元一次方程,得到k,b的值。

(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用:

1.當(dāng)時(shí)間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

2.當(dāng)水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量s。g=s-ft。

六、常用公式:(不全,希望有人補(bǔ)充)

1.求函數(shù)圖像的k值:(y1-y2)/(_1-_2)

2.求與_軸平行線段的中點(diǎn):|_1-_2|/2

3.求與y軸平行線段的中點(diǎn):|y1-y2|/2

4.求任意線段的長(zhǎng):√(_1-_2)^2+(y1-y2)^2(注:根號(hào)下(_1-_2)與(y1-y2)的平方和)

【第8篇 高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.

有向線段的三要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

零向量:長(zhǎng)度為的向量.

單位向量:長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量.

相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

&向量的運(yùn)算

加法運(yùn)算

ab+bc=ac,這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個(gè)從同一點(diǎn)o出發(fā)的兩個(gè)向量oa、ob,以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb,則以o為起點(diǎn)的對(duì)角線oc就是向量oa、ob的和,這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對(duì)于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。

減法運(yùn)算

與a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,|λa|=|λ||a|,當(dāng)λ >;0時(shí),λa的方向和a的方向相同,當(dāng)λ< 0時(shí),λa的方向和a的方向相反,當(dāng)λ = 0時(shí),λa = 0。

設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù),那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。

向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a?b,θ是a與b的夾角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的'數(shù)量積為0。

a?b的幾何意義:數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

【第9篇 高一數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)語?高中階段學(xué)習(xí)難度、強(qiáng)度、容量加大,學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)及壓力明顯加重,不能再依賴初中時(shí)期老師“填鴨式”的授課,“看管式”的自習(xí),“命令式”的作業(yè),要逐步培養(yǎng)自己主動(dòng)獲取知識(shí)、鞏固知識(shí)的能力,制定學(xué)習(xí)計(jì)劃,養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的好習(xí)慣。今天高一頻道為正在拼搏的你整理了《高一數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》,希望以下內(nèi)容可以幫助到您!

1.高一數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

空間兩條直線只有三種位置關(guān)系:平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類:

(1)共面:平行、相交

(2)異面:

異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。

異面直線判定定理:用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角:范圍為(0°,90°)

esp.空間向量法

兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)

esp.空間向量法

2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類:

(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線;(2)沒有公共點(diǎn)——平行或異面

直線和平面的位置關(guān)系:

直線和平面只有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。

空間向量法(找平面的法向量)

規(guī)定:

a、直線與平面垂直時(shí),所成的角為直角,

b、直線與平面平行或在平面內(nèi),所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°,90°]

最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直

直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)

直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn),那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。

2.高一數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

⑴公差為d的等差數(shù)列,各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差仍為d.

⑵公差為d的等差數(shù)列,各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd.

⑶若{a}、為等差數(shù)列,則{a±b}與{ka+b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列.

⑷對(duì)任何m、n,在等差數(shù)列{a}中有:a=a+(n-m)d,特別地,當(dāng)m=1時(shí),便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性.

⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且l+k+p+…=m+n+r+…(兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等),那么當(dāng){a}為等差數(shù)列時(shí),有:a+a+a+…=a+a+a+….

⑹公差為d的等差數(shù)列,從中取出等距離的項(xiàng),構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,此數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd(k為取出項(xiàng)數(shù)之差).

⑺如果{a}是等差數(shù)列,公差為d,那么,a,a,…,a、a也是等差數(shù)列,其公差為-d;在等差數(shù)列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)

⑻在等差數(shù)列中,從第一項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).

⑼當(dāng)公差d>0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大;當(dāng)d<0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減小;d=0時(shí),等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù).

⑽設(shè)a,a,a為等差數(shù)列中的三項(xiàng),且a與a,a與a的項(xiàng)距差之比=(≠-1),則a=.

⑴數(shù)列{a}為等差數(shù)列的充要條件是:數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和s可以寫成s=an+bn的形式(其中a、b為常數(shù)).

⑵在等差數(shù)列{a}中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(nn)時(shí),s-s=nd,=;當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n-1)(n)時(shí),s-s=a,=.

⑶若數(shù)列{a}為等差數(shù)列,則s,s-s,s-s,…仍然成等差數(shù)列,公差為.

⑷若兩個(gè)等差數(shù)列{a}、的前n項(xiàng)和分別是s、t(n為奇數(shù)),則=.

⑸在等差數(shù)列{a}中,s=a,s=b(n>m),則s=(a-b).

⑹等差數(shù)列{a}中,是n的一次函數(shù),且點(diǎn)(n,)均在直線y=_+(a-)上.

⑺記等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為s.①若a>0,公差d<0,則當(dāng)a≥0且a≤0時(shí),s;②若a<0,公差d>0,則當(dāng)a≤0且a≥0時(shí),s最小.

3.高一數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.函數(shù)思想:把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來,并研究這些量間的相互制約關(guān)系,最后解決問題,這就是函數(shù)思想;

2.應(yīng)用函數(shù)思想解題,確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟,大體可分為下面兩個(gè)步驟:

(1)根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式,把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題;

(2)根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題;

(3)方程思想:在某變化過程中,往往需要根據(jù)一些要求,確定某些變量的值,這時(shí)常常列出這些變量的方程或(方程組),通過解方程(或方程組)求出它們,這就是方程思想;

3.函數(shù)與方程是兩個(gè)有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念,它們之間相互滲透,很多方程的問題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法解決,很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法的支援,函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系,形成了函數(shù)方程思想。

【第10篇 高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié):冪函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)

高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié):冪函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)

定義:

形如y=_^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?,指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

定義域和值域:

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:

如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

如果a為負(fù)數(shù),則_肯定不能為0,不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則_不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)_為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的值域的不同情況如下:

在_大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在_小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì):

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則_^(p/q)=q次根號(hào)(_的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是r,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí),設(shè)a=-k,則_=1/(_^k),顯然_≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到_所受到的限制來源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對(duì)于_>;0,則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能,即對(duì)于_<;0和_>;0的所有實(shí)數(shù),q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對(duì)于_為大于且等于0的所有實(shí)數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:

如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

【第11篇 高一數(shù)學(xué)必修一:各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)語心無旁騖,全力以赴,爭(zhēng)分奪秒,頑強(qiáng)拼搏腳踏實(shí)地,不驕不躁,長(zhǎng)風(fēng)破浪,直濟(jì)滄海,我們,注定成功!高一頻道為大家推薦《高一數(shù)學(xué)必修一:各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》希望對(duì)你的學(xué)習(xí)有幫助!

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義:某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

2、集合的中元素的三個(gè)特性:

1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無序性

說明:(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

(2)任何一個(gè)給定的集合中,任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象,相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí),僅算一個(gè)元素。

(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個(gè)集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示:{…}如{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1.用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列舉法與描述法。

注意?。撼S脭?shù)集及其記法:

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:n

正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實(shí)數(shù)集r

關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就說a屬于集合a記作a∈a,相反,a不屬于集合a記作a?a

列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個(gè)大括號(hào)括上。

描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。

①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式_-3>2的解集是{_?r|_-3>2}或{_|_-3>2}

4、集合的分類:

1.有限集含有有限個(gè)元素的集合

2.無限集含有無限個(gè)元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。

反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba

2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)

實(shí)例:設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同”

結(jié)論:對(duì)于兩個(gè)集合a與b,如果集合a的任何一個(gè)元素都是集合b的元素,同時(shí),集合b的任何一個(gè)元素都是集合a的元素,我們就說集合a等于集合b,即:a=b

①任何一個(gè)集合是它本身的子集。aía

②真子集:如果aíb,且a1b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)

③如果aíb,bíc,那么aíc

④如果aíb同時(shí)bía那么a=b

3.不含任何元素的集合叫做空集,記為φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運(yùn)算

1.交集的定義:一般地,由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.

記作a∩b(讀作”a交b”),即a∩b={_|_∈a,且_∈b}.

2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集。記作:a∪b(讀作”a并b”),即a∪b={_|_∈a,或_∈b}.

3、交集與并集的性質(zhì):a∩a=a,a∩φ=φ,a∩b=b∩a,a∪a=a,

a∪φ=a,a∪b=b∪a.

4、全集與補(bǔ)集

(1)補(bǔ)集:設(shè)s是一個(gè)集合,a是s的一個(gè)子集(即),由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補(bǔ)集(或余集)

記作:csa即csa={_|_?s且_?a}

s

csa

a

(2)全集:如果集合s含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素,這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用u來表示。

(3)性質(zhì):⑴cu(cua)=a⑵(cua)∩a=φ⑶(cua)∪a=u

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念:設(shè)a、b是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)_,在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù).記作:y=f(_),_∈a.其中,_叫做自變量,_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)|_∈a}叫做函數(shù)的值域.

注意:2如果只給出解析式y(tǒng)=f(_),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合;3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

定義域補(bǔ)充

能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(6)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

(又注意:求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

再注意:(1)構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))(2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

(見課本21頁(yè)相關(guān)例2)

值域補(bǔ)充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(_),(_∈a)中的_為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)p(_,y)的集合c,叫做函數(shù)y=f(_),(_∈a)的圖象.

c上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(_,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_),反過來,以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)_、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(_,y),均在c上.即記為c={p(_,y)|y=f(_),_∈a}

圖象c一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。

(2)畫法

a、描點(diǎn)法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出_,y的一些對(duì)應(yīng)值并列表,以(_,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)p(_,y),最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來.

b、圖象變換法(請(qǐng)參考必修4三角函數(shù))

常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換

(3)作用:

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。

4.快去了解區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.什么叫做映射

一般地,設(shè)a、b是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素_,在集合b中都有確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:ab為從集合a到集合b的一個(gè)映射。記作“f:ab”

給定一個(gè)集合a到b的映射,如果a∈a,b∈b.且元素a和元素b對(duì)應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

說明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),①集合a、b及對(duì)應(yīng)法則f是確定的;②對(duì)應(yīng)法則有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合a到集合b的對(duì)應(yīng),它與從b到a的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對(duì)于映射f:a→b來說,則應(yīng)滿足:(ⅰ)集合a中的每一個(gè)元素,在集合b中都有象,并且象是的;(ⅱ)集合a中不同的元素,在集合b中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(ⅲ)不要求集合b中的每一個(gè)元素在集合a中都有原象。

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn):

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等,注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);2解析法:必須注明函數(shù)的定義域;3圖象法:描點(diǎn)法作圖要注意:確定函數(shù)的定義域;化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;4列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征.

注意啊:解析法:便于算出函數(shù)值。列表法:便于查出函數(shù)值。圖象法:便于量出函數(shù)值

補(bǔ)充一:分段函數(shù)(參見課本p24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.

補(bǔ)充二:復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈m),u=g(_),(_∈a),則y=f[g(_)]=f(_),(_∈a)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

例如:y=2sin_y=2cos(_2+1)

7.函數(shù)單調(diào)性

(1).增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域?yàn)閕,如果對(duì)于定義域i內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量_1,_2,當(dāng)_1

如果對(duì)于區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值_1,_2,當(dāng)_1

注意:1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);

2必須是對(duì)于區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量_1,_2;當(dāng)_1

(2)圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(_)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(a)定義法:

1任取_1,_2∈d,且_1

(b)圖象法(從圖象上看升降)_

(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律如下:

函數(shù)

單調(diào)性

u=g(_)

y=f(u)

y=f[g(_)]

注意:1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.2、還記得我們?cè)谶x修里學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎?

8.函數(shù)的奇偶性

(1)偶函數(shù)

一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函數(shù).

(2)奇函數(shù)

一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函數(shù).

注意:1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

2由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是,對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,則-_也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

總結(jié):利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-_)=f(_)或f(-_)-f(_)=0,則f(_)是偶函數(shù);若f(-_)=-f(_)或f(-_)+f(_)=0,則f(_)是奇函數(shù).

注意?。汉瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱,(1)再根據(jù)定義判定;(2)有時(shí)判定f(-_)=±f(_)比較困難,可考慮根據(jù)是否有f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定;(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

(2).求函數(shù)的解析式的主要方法有:待定系數(shù)法、換元法、消參法等,如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí),可用待定系數(shù)法;已知復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的表達(dá)式時(shí),可用換元法,這時(shí)要注意元的取值范圍;當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí),也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達(dá)式,則常用解方程組消參的方法求出f(_)

10.函數(shù)(小)值(定義見課本p36頁(yè))

1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(小)值2利用圖象求函數(shù)的(小)值3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(小)值:如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b);如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈_.

當(dāng)是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).此時(shí),的次方根用符號(hào)表示.式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(shù)(radicale_ponent),叫做被開方數(shù)(radicand).

當(dāng)是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).此時(shí),正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示,負(fù)的次方根用符號(hào)-表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±(>0).由此可得:負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

注意:當(dāng)是奇數(shù)時(shí),,當(dāng)是偶數(shù)時(shí),

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

指出:規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.

3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)?;

(2);

(3).

(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(e_ponential),其中_是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)閞.

注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>1

0

圖象特征

函數(shù)性質(zhì)

向_、y軸正負(fù)方向無限延伸

函數(shù)的定義域?yàn)閞

圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱

非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都在_軸上方

函數(shù)的值域?yàn)閞+

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)

自左向右看,

圖象逐漸上升

自左向右看,

圖象逐漸下降

增函數(shù)

減函數(shù)

在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1

在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1

在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1

在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1

圖象上升趨勢(shì)是越來越陡

圖象上升趨勢(shì)是越來越緩

函數(shù)值開始增長(zhǎng)較慢,到了某一值后增長(zhǎng)速度極快;

函數(shù)值開始減小極快,到了某一值后減小速度較慢;

注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:

(1)在[a,b]上,值域是或;

(2)若,則;取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng);

(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù),總有;

(4)當(dāng)時(shí),若,則;

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

(一)對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念:一般地,如果,那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù),記作:(—底數(shù),—真數(shù),—對(duì)數(shù)式)

說明:1注意底數(shù)的限制,且;

2;

3注意對(duì)數(shù)的書寫格式.

兩個(gè)重要對(duì)數(shù):

1常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù);

2自然對(duì)數(shù):以無理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù).

對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化

對(duì)數(shù)式指數(shù)式

對(duì)數(shù)底數(shù)←→冪底數(shù)

對(duì)數(shù)←→指數(shù)

真數(shù)←→冪

(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果,且,,,那么:

1?+;

2-;

3.

注意:換底公式

(,且;,且;).

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(1);(2).

(二)對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù),且叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).

注意:1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。

如:,都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).

2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制:,且.

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

a>1

0

圖象特征

函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)

圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱

非奇非偶函數(shù)

向y軸正負(fù)方向無限延伸

函數(shù)的值域?yàn)閞

函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(1,0)

自左向右看,

圖象逐漸上升

自左向右看,

圖象逐漸下降

增函數(shù)

減函數(shù)

第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0

第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0

第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0

第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0

(三)冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.

(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過點(diǎn)(1,1);

(2)時(shí),冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;

(3)時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時(shí),圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對(duì)于函數(shù),把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即:

方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:

求函數(shù)的零點(diǎn):

1(代數(shù)法)求方程的實(shí)數(shù)根;

2(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn):

二次函數(shù).

1)△>0,方程有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2)△=0,方程有兩相等實(shí)根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)△<0,方程無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn).

【第12篇 2023年高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義:_軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與_軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180° (2)直線的斜率

①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)???0?,90??時(shí),k?0; 當(dāng)???90?,180??時(shí),k?0; 當(dāng)??90?時(shí),k不存在。

y?y1

(_1?_2) ②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式:k?2

_2?_1注意下面四點(diǎn):(1)當(dāng)_1?_2時(shí),公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°; (2)k與p1、p2的順序無關(guān);(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。 (3)直線方程

①點(diǎn)斜式:y?y1?k(_?_1)直線斜率k,且過點(diǎn)?_1,y1?

注意:當(dāng)直線的斜率為0°時(shí),k=0,直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí),直線的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于_1,所以它的方程是_=_1。

②斜截式:y?k_?b,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b ③兩點(diǎn)式:④截矩式:

y?y1y2?y1

_a?y

?

_?_1_2?_1

(_1?_2,y1?y2)直線兩點(diǎn)?_1,y1?,?_2,y2?

?1 b

其中直線l與_軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與_軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式:a_?by?c?0(a,b不全為0)

1各式的適用范圍 ○2特殊的方程如: 注意:○

平行于_軸的直線:y?b(b為常數(shù)); 平行于y軸的直線:_?a(a為常數(shù)); (5)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線 (一)平行直線系

平行于已知直線a0_?b0y?c0?0(a0,b0是不全為0的常數(shù))的直線系:

a0_?b0y?c?0(c為常數(shù))

(二)過定點(diǎn)的直線系

(ⅰ)斜率為k的直線系:y?y0?k?_?_0?,直線過定點(diǎn)?_0,y0?;

(ⅱ)過兩條直線l1:a1_?b1y?c1?0,l2:a2_?b2y?c2?0的交點(diǎn)的直線系方程為

,其中直線l2不在直線系中。 ?a1_?b1y?c1????a2_?b2y?c2??0(?為參數(shù))(6)兩直線平行與垂直當(dāng)l1:y?k1_?b1,l2:y?k2_?b2時(shí), l1//l2?k1?k2,b1?b2;l1?l2?k1k2??1

注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否。 (7)兩條直線的交點(diǎn)

l1:a1_?b1y?c1?0 l2:a2_?b2y?c2?0相交 交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組??

a1_?b1y?c1?0

的一組解。

?a2_?b2y?c2?0

方程組無解?l1//l2 ; 方程組有無數(shù)解?l1與l2重合 (8)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè)a(_1,y1),b是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),

(_2,y2)

則|ab|?

(9)點(diǎn)到直線距離公式:一點(diǎn)p?_0,y0?到直線l1:a_?by?c?0的距離d(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

?

a_0?by0?c

a?b

2

2

二、圓的方程

1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的

半徑。

2、圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程?_?a???y?b??r2,圓心?a,b?,半徑為r;

2

2

(2)一般方程_2?y2?d_?ey?f?0 當(dāng)d?e

22

2

?4f?0時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為?

??

?

2

2

d2

,?

1e?,半徑為r??

22?

d

2

?e

2

?4f

當(dāng)d?e?4f?0時(shí),表示一個(gè)點(diǎn); 當(dāng)d?e?4f?0時(shí),方程不表示任何圖

形。

(3)求圓方程的方法: 一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出d,e,f;

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn),以此來確定圓心的位置。 3、直線與圓的位置關(guān)系:

直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況,基本上由下列兩種方法判斷:

(1)設(shè)直線l:a_?by?c?0,圓c:?_?a?2??y?b?2?r2,圓心c?a,b?到l的距離為

d?

aa?bb?ca?b

2

2

2

,則有d?r?l與c相離;d?r?l與c相切;d?r?l與c相交

2

2

(2)設(shè)直線l:a_?by?c?0,圓c:?_?a???y?b??r2,先將方程聯(lián)立消元,得到一個(gè)一元二次方程之后,令其中的判別式為?,則有

??0?l與c相離;??0?l與c相切;??0?l與c相交

2

注:如果圓心的位置在原點(diǎn),可使用公式__0?yy0?r去解直線與圓相切的問題,其中?_0,y0?表示切點(diǎn)坐標(biāo),r表示半徑。

(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程:

22

①圓_2+y2=r,圓上一點(diǎn)為(_0,y0),則過此點(diǎn)的切線方程為__0?yy0?r (課本命題).

2222

②圓(_-a)+(y-b)=r,圓上一點(diǎn)為(_0,y0),則過此點(diǎn)的切線方程為(_0-a)(_-a)+(y0-b)(y-b)= r (課本命題的推廣).4、圓與圓的位置關(guān)系:通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。 設(shè)圓c1:?_?a1?2??y?b1?2?r2,c2:?_?a2?2??y?b2?2?r2 兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。 當(dāng)d?r?r時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線四條;

當(dāng)d?r?r時(shí)兩圓外切,連心線過切點(diǎn),有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條; 當(dāng)r?r?d?r?r時(shí)兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線; 當(dāng)d?r?r時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點(diǎn),只有一條公切線; 當(dāng)d?r?r時(shí),兩圓內(nèi)含; 當(dāng)d?0時(shí),為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱:定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共

邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱abcde?a'b'c'd'e'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱

'ad

幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且

相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐p?abcde

幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到

截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái):定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分 分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

'''''

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)p?abcde

幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn) (4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖

是一個(gè)矩形。

(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何

'

'

'

'

'

第3 / 7頁(yè)

幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。 (6)圓臺(tái):定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分 幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。 (7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。 2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、 俯視圖(從上向下)

注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度; 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn):①原來與_軸平行的線段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng),h為高,h為斜高,l為母線)

'

s直棱柱側(cè)面積

s正棱臺(tái)側(cè)面積

?12

?ch s圓柱側(cè)?2?rh s正棱錐側(cè)面積

(c1?c2)h' s圓臺(tái)側(cè)面積?(r?r)?l

?

12

ch' s圓錐側(cè)面積

??rl

s圓柱表?2?r?r?l? s圓錐表??r?r?l? s圓臺(tái)表???r2?rl?rl?r2?

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 ??v柱?sh v圓柱?sh

v臺(tái)

?

13(s?

'

2

1

r h v錐?sh v圓錐?1?r2h

3

3

s)h v圓臺(tái)?

13

(s?

'

s)h?

13

?(r?rr?r)h

22

(4)球體的表面積和體積公式:v球4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

=

43

?r

3

; s

球面

=4?r2

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(1)平面

① 平面的概念: a.描述性說明; b.平面是無限伸展的;

② 平面的表示:通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫在一個(gè)銳角內(nèi));

也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示,如平面bc。

③ 點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)a在平面?內(nèi),記作a??;點(diǎn)a不在平面?內(nèi),記作a?? 點(diǎn)與直線的關(guān)系:點(diǎn)a的直線l上,記作:a∈l; 點(diǎn)a在直線l外,記作a?l;

直線與平面的關(guān)系:直線l在平面α內(nèi),記作l?α;直線l不在平面α內(nèi),記作l?α。 (2)公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

(即直線在平面內(nèi),或者平面經(jīng)過直線)

應(yīng)用:檢驗(yàn)桌面是否平; 判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語言表示公理1:a?l,b?l,a??,b???l?? (3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。

推論:一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ②它是證明平面重合的依據(jù) (4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

符號(hào):平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a。

符號(hào)語言:p?a?b?a?b?l,p?l 公理3的作用:

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系:交線公共點(diǎn)。 ③它可以判斷點(diǎn)在直線上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。 (5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行 (6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系

① 異面直線定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 ② 異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交。

③ 異面直線判定:過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 ④ 異面直線所成角:直線a、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)o,分別引直線a’∥a,b’∥b,則把直線a’和b’所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直。 說明:(1)判定空間直線是異面直線方法:①根據(jù)異面直線的定義;②異面直線的判定定理 (2)在異面直線所成角定義中,空間一點(diǎn)o是任取的,而和點(diǎn)o的位置無關(guān)。 ②求異面直線所成角步驟:

a、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 b、證明作出的角即為所求角 c、利用三角形來求角

(7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ)。 (8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

第5 / 7頁(yè)

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示:a?α a∩α=a a∥α

(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行——沒有公共點(diǎn);α∥β

相交——有一條公共直線。α∩β=b

5、空間中的平行問題

(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。

線線平行?線面平行

線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,

那么這條直線和交線平行。線面平行?線線平行

(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個(gè)平面平行的判定定理

(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行

(線面平行→面面平行),

(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行。 (線線平行→面面平行),

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行, 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。(面面平行→線面平行) (2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。(面面平行→線線平行) 7、空間中的垂直問題

(1)線線、面面、線面垂直的定義 ①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直。 ②線面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個(gè)平面垂直。

③平面和平面垂直:如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個(gè)平面垂直。 (2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 ①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個(gè)平面。 性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。 ②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直。 性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

9、空間角問題

(1)直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角:規(guī)定為0?。

②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角。 ③兩條異面直線所成的角:過空間任意一點(diǎn)o,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線a?,b?,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

(2)直線和平面所成的角

??

①平面的平行線與平面所成的角:規(guī)定為0。 ②平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為90。 ③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

第6 / 7頁(yè)

在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線, 在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息:(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線;(2)過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射.....線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過來,如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角 ④求二面角的方法

定義法:在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角 垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角 7、空間直角坐標(biāo)系

(1)定義:如圖,obcd?d,a,b,c,是單位正方體.以a為原點(diǎn), 分別以od,oa,,ob的方向?yàn)檎较?,建立三條數(shù)軸_軸.y軸.z軸。 這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系o_yz.

1)o叫做坐標(biāo)原點(diǎn) 2)_ 軸,y軸,z軸叫做坐標(biāo)軸. 3)過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。

(2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí),可能形成的位置。大拇指指向?yàn)開軸正方向,食指指向?yàn)閥軸正向,中指指向則為z軸正向,這樣也可以決定三軸間的相位置。

(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示:空間一點(diǎn)m的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(_,y,z)來表示,有序?qū)崝?shù)組(_,y,z) 叫做點(diǎn)m在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作m(_,y,z)(_叫做點(diǎn)m的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)m的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)m的豎坐標(biāo))

(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式:d?(_2?_1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

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第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義:某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

2、集合的中元素的三個(gè)特性:

1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無序性

說明:(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

(2)任何一個(gè)給定的集合中,任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象,相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí),僅算一個(gè)元素。

(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個(gè)集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示:{…}如{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1.用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列舉法與描述法。

注意?。撼S脭?shù)集及其記法:

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:n

正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實(shí)數(shù)集r

關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就說a屬于集合a記作a∈a,相反,a不屬于集合a記作a?a

列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個(gè)大括號(hào)括上。

描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。

①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式_-3>;2的解集是{_?r|_-3>;2}或{_|_-3>;2}

4、集合的.分類:

1.有限集含有有限個(gè)元素的集合

2.無限集含有無限個(gè)元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。

反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba

2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)

實(shí)例:設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同”

結(jié)論:對(duì)于兩個(gè)集合a與b,如果集合a的任何一個(gè)元素都是集合b的元素,同時(shí),集合b的任何一個(gè)元素都是集合a的元素,我們就說集合a等于集合b,即:a=b

①任何一個(gè)集合是它本身的子集。aía

②真子集:如果aíb,且a1b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)

③如果aíb,bíc,那么aíc

④如果aíb同時(shí)bía那么a=b

3.不含任何元素的集合叫做空集,記為φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

【第14篇 2023高一數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

?正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角?1、任意角?負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 ?零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角?

2、角?的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與_軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱?為第幾象限角. ??

第二象限角的集合為??k?360?90?k?360?180,k??? 第三象限角的集合為??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合為??k?360?270???k?360?360,k???

終邊在_軸上的角的集合為????k?180,k???

終邊在y軸上的角的集合為???k?180?90,k??? 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為????k?90,k???

3、與角?終邊相同的角的集合為????k?360??,k??? 第一象限角的集合為?k?360????k?360??90?,k?? ?????????????????

4、已知?是第幾象限角,確定??n???所在象限的方法:先把各象限均分n等n_

份,再?gòu)腳軸的正半軸的上方起,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則?原來是?第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域. n

5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度.

l6、半徑為r的圓的圓心角?所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,則角?的弧度數(shù)的絕對(duì)值是?. r

?180?7、弧度制與角度制的換算公式:2??360,1?,1???57.3?. ?180???????

8、若扇形的圓心角為???為弧度制?,半徑為r,弧長(zhǎng)為l,周長(zhǎng)為c,面積為s,11則l?r?,c?2r?l,s?lr??r2. 22

9、設(shè)?是一個(gè)任意大小的角,?的終邊上任意一點(diǎn)?的坐標(biāo)是?_,y?,它與原點(diǎn)的

距離是rr?0,則sin????y_y,cos??,tan???_?0?. rr_10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào):第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正.

11、三角函數(shù)線:sinα=mp,cosα=om,tanα=at. 12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:(1)sinα+cosα=1

2

2

(sin

2

α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α);(2)

sinα

=tanα cosα

sinα??

sinα=tanαcosα,cosα= ?.

tanα??

13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:

(1)sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα(k∈z). (2)sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα. (3)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα. (4)sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.

口訣:函數(shù)名稱不變,符號(hào)看象限.

(5)sin?

??π?

-α?=cosα,cos -α?=sinα. ?2??2???π?

+α?=cosα,cos +α?=-sinα. ?2??2?

π

(6)sin?

π

口訣:奇變偶不變,符號(hào)看象限.

14、函數(shù)y=sin_的圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移?個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)

y=sin(_+?)的圖象;再將函數(shù)y=sin(_+?)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(縮短)到原來的

1

ω

倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(ω_+?)的圖象;再將函數(shù)

(縮短)到原來的a倍(橫坐標(biāo)不變),y=sin(ω_+?)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)得到函數(shù)y=asin(ω_+?)的圖象.

函數(shù)y=sin_的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(縮短)到原來的得到函數(shù)

y=sinω_的圖象;再將函數(shù)y=sinω_的圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移

1

ω

倍(縱坐標(biāo)不變),

?

個(gè)單位ω

長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=sin(ω_+?)的圖象;再將函數(shù)y=sin(ω_+?)的圖象上所有點(diǎn)

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的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(縮短)到原來的a倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=asin(ω_+?)的圖象.

函數(shù)y=asin(ω_+?)(a>0,ω>0)的性質(zhì):

①振幅:a;②周期:t=

ω

;③頻率:f=

=;④相位:ω_+?;⑤初相:t2π

?.

函數(shù)y=asin(ω_+?)+b,當(dāng)_=_1時(shí),取得最小值為ymin ;當(dāng)_=_2時(shí),取得最

11t

(yma_-ymin),b=(yma_+ymin),=_2-_1(_1

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì): 函 y=cos_ y=tan_ 數(shù) y=sin_ 性

大值為yma_,則a=

質(zhì)

圖象

定義域 值域

r

r

?π?__≠kπ+,k∈z??

2??

r

[-1,1]

當(dāng)_=2kπ+

[-1,1]

(k∈z)

當(dāng)_=2kπ(k∈z)時(shí),

π

2

時(shí),yma_=1;當(dāng)

_=2kπ-

yma_=1;當(dāng)_=2kπ+π

π

2

(k∈z)時(shí),ymin=-1.

既無值也無最小值

(k∈z)時(shí),ymin=-1.

2π 周

期性 奇奇函數(shù) 偶性 單

ππ??

調(diào)在?2kπ-,2kπ+?

22??

π

偶函數(shù) 奇函數(shù)

在[2kπ-π,2kπ](k∈z)上是

數(shù)

;

ππ??

在 kπ-,kπ+?

22??

第3 / 6頁(yè)

(k∈z)上是增函數(shù);在 [2kπ,2kπ+π]

π3π??

2kπ+,2kπ+??22??

(k∈z)上是增函數(shù).

(k∈z)上是減函數(shù).

(k∈z)上是減函數(shù).

對(duì)稱中心(kπ,0)(k∈z) 對(duì)

對(duì)稱軸稱

π

性 _=kπ+(k∈z)

2

對(duì)

對(duì)

π??kπ+,0?(k∈z)

2??

對(duì)稱軸_=kπ(k∈z)

?kπ?

,0?(k∈z)

?2?

無對(duì)稱軸

16、向量:既有大小,又有方向的量. 數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.

有向線段的三要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度. 零向量:長(zhǎng)度為0的向量.

單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量. 平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行. 相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量. 17、向量加法運(yùn)算:

⑴三角形法則的特點(diǎn):首尾相連. ⑵平行四邊形法則的特點(diǎn):共起點(diǎn).

⑶三角形不等式:a-b≤a+b≤a+b.

⑷運(yùn)算性質(zhì):①交換律:a+b=b+a;②結(jié)合律:a+b+c=a+b+c;③

a+0=0+a=a.

c

⑸坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)a=(_1,y1),b=(_2,y2),則a+b=(_1+_2,y1+y2).

18、向量減法運(yùn)算:

⑴三角形法則的特點(diǎn):共起點(diǎn),連終點(diǎn),方向指向被減向量.

a

b

a

b

⑵坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)a=(_1,y1),b=(_2,y2),則a-b=(_1-_2,y1-y2). 設(shè)a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(_1,y1),(_2,y2),則ab=

-(_1

_2y,1-y2

).

a-b=ac-ab=bc

19、向量數(shù)乘運(yùn)算:

⑴實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa. ①

λa=λa;

第4 / 6頁(yè)

②當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0

時(shí),λa=0.

⑵運(yùn)算律:①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λa+b=λa+λb.

⑶坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)a=(_,y),則λa=λ(_,y)=(λ_,λy).

20、向量共線定理:向量aa≠0與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.

設(shè)a=(_1,y1),b=(_2,y2),其中b≠0,則當(dāng)且僅當(dāng)_1y2-_2y1=0時(shí),向量a、bb≠0

共線.

21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)

的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.(不共線的向量e1、e2作為

這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè)點(diǎn)p是線段p1p2上的一點(diǎn),p1、p2的坐標(biāo)分別是(_1,y1),(_2,y2),

?_+λ_2y1+λy2?當(dāng)p1p=λpp2時(shí),點(diǎn)p的坐標(biāo)是 1,?.

1+λ1+λ??

23、平面向量的數(shù)量積:

⑴a?b=abcosθa≠0,b≠0,0≤θ≤180.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì):設(shè)a和b都是非零向量,則①a⊥b?a?b=0.②當(dāng)a與b同向時(shí),a?b=ab; 2

2 當(dāng)a與b反向時(shí),a?b=-ab;a?a=a=a或a=.③a?b≤ab.

⑶運(yùn)算律:①a?b=b?a;②(λa)?b=λa?b=a?λb;③a+b?c=a?c+b?c.

⑷坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)兩個(gè)非零向量a=(_1,y1),b=(_2,y2),則a?b=_1_2+y1y2.

22

若a=(_,y),則a=_+y,或a=

2

設(shè)a=(_1,y1),b=(_2,y2),則a⊥b?_1_2+y1y2=0.

設(shè)a、b都是非零向量,a=(_1,y1),b=(_2,y2),θ是a與b的夾角,

a?b

cosθ==.

ab24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式: ⑴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

第5 / 6頁(yè)

⑵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; ⑶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ; ⑷sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; ⑸tan(α-β)=

tanα-tanβ

(tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ));

1+tanαtanβ

⑹tan(α+β)=

tanα+tanβ

(tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)).

1-tanαtanβ

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴sin2α=2sinαcosα. ⑵

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

1-cos2α

). 2

cos2α=

cos2α+1

2

sin2α=

⑶tan2α=

2tanα

1-tan2α

(α+?),其中tan?=

26

、asinα+bcosα=

b. a

【第15篇 北師大版高一數(shù)學(xué)必修1第一單元集合的含義與表示知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)1.集合與元素

一個(gè)東西是集合還是元素并不是絕對(duì)的,很多情況下是相對(duì)的,集合是由元素組成的集合,元素是組成集合的元素。例如:你所在的班級(jí)是一個(gè)集合,是由幾十個(gè)和你同齡的同學(xué)組成的集合,你相對(duì)于這個(gè)班級(jí)集合來說,是它的一個(gè)元素;而整個(gè)學(xué)校又是由許許多多個(gè)班級(jí)組成的集合,你所在的班級(jí)只是其中的一分子,是一個(gè)元素。班級(jí)相對(duì)于你是集合,相對(duì)于學(xué)校是元素,參照物不同,得到的結(jié)論也不同,可見,是集合還是元素,并不是絕對(duì)的

知識(shí)點(diǎn)2.解集合問題的關(guān)鍵

解集合問題的關(guān)鍵:弄清集合是由哪些元素所構(gòu)成的,也就是將抽象問題具體化、形象化,將特征性質(zhì)描述法表示的集合用列舉法來表示,或用韋恩圖來表示抽象的集合,或用圖形來表示集合,比如用數(shù)軸來表示集合,或是集合的元素為有序?qū)崝?shù)對(duì)時(shí),可用平面直角坐標(biāo)系中的圖形表示相關(guān)的集合等

【第16篇 2023高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱:

定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱

幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐

幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái):

定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)

幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱:

定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐:

定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái):

定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分

幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

(7)球體:

定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn):①原來與_軸平行的線段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來的一半。

高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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