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第1篇高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第2篇高二數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第3篇高二數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納 第4篇人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第5篇高二年級(jí)數(shù)學(xué)必修三第一章知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第6篇2023高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第7篇高三上冊(cè)數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第8篇2023高一數(shù)學(xué)必修四公式總結(jié) 第9篇數(shù)學(xué)必修一第一單元知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第10篇高三數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第11篇高三數(shù)學(xué)必修五第二章知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第12篇2023高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第13篇高一上冊(cè)數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第14篇高三數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第15篇高三數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié):立體幾何初步 第16篇高二數(shù)學(xué)必修三公式總結(jié):三角函數(shù)的積化和差公式
【第1篇 高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)范例
一、集合有關(guān)概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個(gè)特性:
(1) 元素的確定性,
(2) 元素的互異性,
(3) 元素的無序性,
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列舉法與描述法。
? 注意:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:n
正整數(shù)集 n_或 n+ 整數(shù)集z 有理數(shù)集q 實(shí)數(shù)集r
1) 列舉法:{a,b,c……}
2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{_?r| _-3>;2} ,{_| _-3>;2}
3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) venn圖:
4、集合的分類:
(1) 有限集 含有有限個(gè)元素的集合
(2) 無限集 含有無限個(gè)元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意: 有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a
2.“相等”關(guān)系:a=b (5≥5,且5≤5,則5=5)
實(shí)例:設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即:① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。a?a
②真子集:如果a?b,且a? b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)
③如果 a?b, b?c ,那么 a?c
④ 如果a?b 同時(shí) b?a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集
三、集合的運(yùn)算
運(yùn)算類型 交 集 并 集 補(bǔ) 集
定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.記作a b(讀作‘a(chǎn)交b’),即a b={_|_ a,且_ b}.
由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集.記作:a b(讀作‘a(chǎn)并b’),即a b ={_|_ a,或_ b}).
設(shè)s是一個(gè)集合,a是s的一個(gè)子集,由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補(bǔ)集(或余集)
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二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念:設(shè)a、b是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)_,在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(_)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù).記作: y=f(_),_∈a.其中,_叫做自變量,_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域.
注意:
1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的._的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零,
(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.
相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納
(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)p(_,y)的集合c,叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象.c上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(_,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_),反過來,以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)_、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(_,y),均在c上 .
(2) 畫法
a、 描點(diǎn)法:
b、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對(duì)稱變換
4.區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間
(2)無窮區(qū)間
(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.映射
一般地,設(shè)a、b是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素_,在集合b中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:a b為從集合a到集合b的一個(gè)映射。記作f:a→b
6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.
補(bǔ)充:復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
二.函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))
(1)增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域?yàn)閕,如果對(duì)于定義域i內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量_1,_2,當(dāng)_1
如果對(duì)于區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值_1,_2,當(dāng)_1f(_2),那么就說f(_)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間d稱為y=f(_)的單調(diào)減區(qū)間.
注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);
(2) 圖象的特點(diǎn)
如果函數(shù)y=f(_)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(a) 定義法:
○1 任取_1,_2∈d,且_1
○2 作差f(_1)-f(_2);
○3 變形(通常是因式分解和配方);
○4 定號(hào)(即判斷差f(_1)-f(_2)的正負(fù));
○5 下結(jié)論(指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).
(b)圖象法(從圖象上看升降)
(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”
注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))
(1)偶函數(shù)
一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函數(shù).
(2).奇函數(shù)
一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函數(shù).
(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:
○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
○2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;
○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0,則f(_)是偶函數(shù);若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0,則f(_)是奇函數(shù).
(2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定;
(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .
9、函數(shù)的解析表達(dá)式
(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.
(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:
1) 湊配法
2) 待定系數(shù)法
3) 換元法
4) 消參法
10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值
○2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值
○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最大值f(b);
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);
【第2篇 高二數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖
11三視圖:
正視圖:從前往后
側(cè)視圖:從左往右
俯視圖:從上往下
22畫三視圖的原則:
長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等
33直觀圖:斜二測(cè)畫法
44斜二測(cè)畫法的步驟:
(1).平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸;
(2).平行于y軸的線長(zhǎng)度變半,平行于_,z軸的線長(zhǎng)度不變;
(3).畫法要寫好。
5用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟:(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖
1.3空間幾何體的表面積與體積
(一)空間幾何體的表面積
1棱柱、棱錐的表面積:各個(gè)面面積之和
2圓柱的表面積3圓錐的表面積
4圓臺(tái)的表面積
5球的表面積
(二)空間幾何體的體積
1柱體的體積
2錐體的體積
3臺(tái)體的體積
4球體的體積
高二數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn):直線與平面的位置關(guān)系
2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.1.1
1平面含義:平面是無限延展的
2平面的畫法及表示
(1)平面的畫法:水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,銳角畫成450,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)(如圖)
(2)平面通常用希臘字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示,如平面ac、平面abcd等。
3三個(gè)公理:
(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)
符號(hào)表示為
a∈l
b∈l=>lα
a∈α
b∈α
公理1作用:判斷直線是否在平面內(nèi)
(2)公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。
符號(hào)表示為:a、b、c三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α,
使a∈α、b∈α、c∈α。
公理2作用:確定一個(gè)平面的依據(jù)。
(3)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。
符號(hào)表示為:p∈α∩β=>α∩β=l,且p∈l
公理3作用:判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)
2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系:
共面直線
相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);
平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);
異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)。
2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
符號(hào)表示為:設(shè)a、b、c是三條直線
a∥b
c∥b
強(qiáng)調(diào):公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性,在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。
公理4作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。
3等角定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
4注意點(diǎn):
①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定,與o的選擇無關(guān),為了簡(jiǎn)便,點(diǎn)o一般取在兩直線中的一條上;
②兩條異面直線所成的角θ∈(0,);
③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí),我們就說這兩條異面直線互相垂直,記作a⊥b;
④兩條直線互相垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形;
⑤計(jì)算中,通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。
2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系
1、直線與平面有三種位置關(guān)系:
(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
(2)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
(3)直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)
指出:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外,可用aα來表示
aαa∩α=aa∥α
2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
2.2.1直線與平面平行的判定
1、直線與平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。
簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行。
符號(hào)表示:
aα
bβ=>a∥α
a∥b
2.2.2平面與平面平行的判定
1、兩個(gè)平面平行的判定定理:一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。
符號(hào)表示:
aβ
bβ
a∩b=pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種:
(1)用定義;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。
2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)
1、定理:一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
簡(jiǎn)記為:線面平行則線線平行。
符號(hào)表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:利用該定理可解決直線間的平行問題。
2、定理:如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。
符號(hào)表示:
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:可以由平面與平面平行得出直線與直線平行
2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
2.3.1直線與平面垂直的判定
1、定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面。直線與平面垂直時(shí),它們公共點(diǎn)p叫做垂足。
2、判定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。
注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;
b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
2.3.2平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形
2、二面角的記法:二面角α-l-β或α-ab-β
3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理:一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直。
2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)
1、定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。
2性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。
【第3篇 高二數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納
(一)解三角形:
1、正弦定理:在中,、、分別為角、、的對(duì)邊,,則有
(為的外接圓的半徑)
2、正弦定理的變形公式:①,,;
②,,;③;
3、三角形面積公式:.
4、余弦定理:在中,有,推論:
(二)數(shù)列:
1.數(shù)列的有關(guān)概念:
(1)數(shù)列:按照一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是有序的。數(shù)列是定義在自然數(shù)n_或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函數(shù)。
(2)通項(xiàng)公式:數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)公式來表示,這個(gè)公式即是該數(shù)列的通項(xiàng)公式。如:。
(3)遞推公式:已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與他的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))可以用一個(gè)公式來表示,這個(gè)公式即是該數(shù)列的遞推公式。
如:。
2.?dāng)?shù)列的表示方法:
(1)列舉法:如1,3,5,7,9,…(2)圖象法:用(n,an)孤立點(diǎn)表示。
(3)解析法:用通項(xiàng)公式表示。(4)遞推法:用遞推公式表示。
3.?dāng)?shù)列的分類:
4.?dāng)?shù)列{an}及前n項(xiàng)和之間的關(guān)系:
5.等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)比小結(jié):
等差數(shù)列等比數(shù)列
一、定義
二、公式1.
2.
1.
2.
三、性質(zhì)1.,
稱為與的等差中項(xiàng)
2.若(、、、),則
3.,,成等差數(shù)列
1.,
稱為與的等比中項(xiàng)
2.若(、、、),則
3.,,成等比數(shù)列
(三)不等式
1、;;.
2、不等式的性質(zhì):①;②;③;
④,;⑤;
⑥;⑦;
⑧.
小結(jié):代數(shù)式的大小比較或證明通常用作差比較法:作差、化積(商)、判斷、結(jié)論。
在字母比較的選擇或填空題中,常采用特值法驗(yàn)證。
3、一元二次不等式解法:
(1)化成標(biāo)準(zhǔn)式:;(2)求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根;
(3)畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象;(4)根據(jù)不等號(hào)方向取出相應(yīng)的解集。
線性規(guī)劃問題:
1.了解線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行域、可行解、解
2.線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的值或最小值問題.
3.解線性規(guī)劃實(shí)際問題的步驟:
(1)將數(shù)據(jù)列成表格;(2)列出約束條件與目標(biāo)函數(shù);(3)根據(jù)求最值方法:①畫:畫可行域;②移:移與目標(biāo)函數(shù)一致的平行直線;③求:求最值點(diǎn)坐標(biāo);④答;求最值;(4)驗(yàn)證。
兩類主要的目標(biāo)函數(shù)的幾何意義:
①-----直線的截距;②-----兩點(diǎn)的距離或圓的半徑;
4、均值定理:若,,則,即.;
稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù),稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù).
5、均值定理的應(yīng)用:設(shè)、都為正數(shù),則有
⑴若(和為定值),則當(dāng)時(shí),積取得值.
⑵若(積為定值),則當(dāng)時(shí),和取得最小值.
注意:在應(yīng)用的時(shí)候,必須注意“一正二定三等”三個(gè)條件同時(shí)成立。
【第4篇 人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語青春是一場(chǎng)遠(yuǎn)行,回不去了。青春是一場(chǎng)相逢,忘不掉了。但青春卻留給我們最寶貴的友情。友情其實(shí)很簡(jiǎn)單,只要那么一聲簡(jiǎn)短的問候、一句輕輕的諒解、一份淡淡的惦記,就足矣。當(dāng)我們?cè)诋厴I(yè)季痛哭流涕地說出再見之后,請(qǐng)不要讓再見成了再也不見。這篇《人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》是高一頻道為你整理的,希望你喜歡!
空間兩條直線只有三種位置關(guān)系:平行、相交、異面
1、按是否共面可分為兩類:
(1)共面:平行、相交
(2)異面:
異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理:用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角:范圍為(0°,90°)esp.空間向量法
兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法
2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類:
(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線;(2)沒有公共點(diǎn)——平行或異面
直線和平面的位置關(guān)系:
直線和平面只有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。
空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定:a、直線與平面垂直時(shí),所成的角為直角,b、直線與平面平行或在平面內(nèi),所成的角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°,90°]
最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直
直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)
直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn),那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。
多面體
1、棱柱
棱柱的定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每?jī)蓚€(gè)四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫做棱柱。
棱柱的性質(zhì)
(1)側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形
(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形
(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對(duì)角面)是平行四邊形
2、棱錐
棱錐的定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐
棱錐的性質(zhì):
(1)側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形
(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方
3、正棱錐
正棱錐的定義:如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質(zhì):
(1)各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。
(3)多個(gè)特殊的直角三角形
a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對(duì)異面直線,若有兩對(duì)互相垂直,則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
兩個(gè)平面的位置關(guān)系
(1)兩個(gè)平面互相平行的定義:空間兩平面沒有公共點(diǎn)
(2)兩個(gè)平面的位置關(guān)系:
兩個(gè)平面平行-----沒有公共點(diǎn);兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。
a、平行
兩個(gè)平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么交線平行。b、相交
二面角
(1)半平面:平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分,其中每一個(gè)部分叫做半平面。
(2)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°,180°]
(3)二面角的棱:這一條直線叫做二面角的棱。
(4)二面角的面:這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。
兩平面垂直
兩平面垂直的定義:兩平面相交,如果所成的角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直。記為⊥
兩平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直
兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系)。
【第5篇 高二年級(jí)數(shù)學(xué)必修三第一章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語著眼于眼前,不要沉迷于玩樂,不要沉迷于學(xué)習(xí)進(jìn)步?jīng)]有別_的痛苦中,進(jìn)步是一個(gè)由量變到質(zhì)變的過程,只有足夠的量變才會(huì)有質(zhì)變,沉迷于痛苦不會(huì)改變什么。高二頻道為你整理了《高二年級(jí)數(shù)學(xué)必修三第一章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》,希望對(duì)你有所幫助!
一.算法的概念
1、算法概念:在數(shù)學(xué)上,現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟,這些程序或步驟必須是明確和有效的,而且能夠在有限步之內(nèi)完成.
2.算法的特點(diǎn):(1)有限性:一個(gè)算法的步驟序列是有限的,必須在有限操作之后停止,不能是無限的.
(2)確定性:算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果,而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.
(3)順序性與正確性:算法從初始步驟開始,分為若干明確的步驟,每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟,前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步,并且每一步都準(zhǔn)確無誤,才能完成問題.
(4)不性:求解某一個(gè)問題的解法不一定是的,對(duì)于一個(gè)問題可以有不同的算法.
(5)普遍性:很多具體的問題,都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決,如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.
二.程序框圖
1、程序框圖基本概念:
一)程序構(gòu)圖的概念:程序框圖又稱流程圖,是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。
一個(gè)程序框圖包括以下幾部分:表示相應(yīng)操作的程序框;帶箭頭的流程線;程序框外必要文字說明。
二)構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用
學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候,要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則,畫程序框圖的規(guī)則如下:
1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。
2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。
3、除判斷框外,大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的符號(hào)。
4、判斷框分兩大類,一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷,而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果;另一類是多分支判斷,有幾種不同的結(jié)果。
5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語言要非常簡(jiǎn)練清楚。
三)、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。
1、順序結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu),語句與語句之間,框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的,它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的,它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。
順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來,按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中,a框和b框是依次執(zhí)行的,只有在執(zhí)行完a框指定的操作后,才能接著執(zhí)行b框所指定的操作。
2、條件結(jié)構(gòu):
條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對(duì)條件的判斷
根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。
條件p是否成立而選擇執(zhí)行a框或b框。無論p條件是否成立,只能執(zhí)行a框或b框之一,
不可能同時(shí)執(zhí)行a框和b框,也不可能a框、b框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。
3、循環(huán)結(jié)構(gòu):在一些算法中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開始,按照一定條件,反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況,這就是循環(huán)結(jié)構(gòu),反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體,顯然,循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu),循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類:
(1)、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),如下左圖所示,它的功能是當(dāng)給定的條件p成立時(shí),執(zhí)行a框,a框執(zhí)行完畢后,再判斷條件p是否成立,如果仍然成立,再執(zhí)行a框,如此反復(fù)執(zhí)行a框,直到某一次條件p不成立為止,此時(shí)不再執(zhí)行a框,離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。
(2)、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu),如下右圖所示,它的功能是先執(zhí)行,然后判斷給定的條件p是否成立,如果p仍然不成立,則繼續(xù)執(zhí)行a框,直到某一次給定的條件p成立為止,此時(shí)不再執(zhí)行a框,離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。
注意:1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán),這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此,循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu),但不允許“死循環(huán)”。
2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù),累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的,累加一次,計(jì)數(shù)一次。
三.輸入、輸出語句和賦值語句
四.條件語句
五.循環(huán)語句
六.輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)
1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法,用輾轉(zhuǎn)相除法求公約數(shù)的步驟如下:
(1):用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù);
(2):若=0,則n為m,n的公約數(shù);若≠0,則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù);
(3):若=0,則為m,n的公約數(shù);若≠0,則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù);……依次計(jì)算直至=0,此時(shí)所得到的即為所求的公約數(shù)。
2、更相減損術(shù)
我國早期也有求公約數(shù)問題的算法,就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求公約數(shù)的步驟:可半者半之,不可半者,副置分母·子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之。
翻譯為:(1):任意給出兩個(gè)正數(shù);判斷它們是否都是偶數(shù)。若是,用2約簡(jiǎn);若不是,執(zhí)行第二步。
(2):以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把較小的數(shù)與所得的差比較,并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個(gè)數(shù)(等數(shù))就是所求的公約數(shù)。
3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別:
(1)都是求公約數(shù)的方法,計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主,更相減損術(shù)以減法為主,計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少,特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。
(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來看,輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到,而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到
七.秦九韶算法與排序
1、秦九韶算法概念:f(_)=an_n+an-1_n-1+….+a1_+a0求值問題
f(_)=an_n+an-1_n-1+….+a1_+a0=(an_n-1+an-1_n-2+….+a1)_+a0=((an_n-2+an-1_n-3+….+a2)_+a1)_+a0=......=(...(an_+an-1)_+an-2)_+...+a1)_+a0
求多項(xiàng)式的值時(shí),首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值,即v1=an_+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即
v2=v1_+an-2v3=v2_+an-3......vn=vn-1_+a0
這樣,把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問題。
2、兩種排序方法:直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想:插入排序的思想就是讀一個(gè),排一個(gè)。將第1個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第1個(gè)元素中,以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較,確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置.將該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置,將讀入的新數(shù)填入空出的位置中.(由于算法簡(jiǎn)單,可以舉例說明)
2、冒泡排序
基本思想:依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)......直到比較最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個(gè)數(shù)開始,到最后第2個(gè)數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.八.進(jìn)位制
概念:進(jìn)位制是一種記數(shù)方式,用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值??墒褂脭?shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱為基數(shù),基數(shù)為n,即可稱n進(jìn)位制,簡(jiǎn)稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制,通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)數(shù),我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如:十進(jìn)數(shù)57,可以用二進(jìn)制表示為111001,也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39,它們所代表的數(shù)值都是一樣的。
而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)。
【第6篇 2023高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第一章 集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念
1.集合的含義
2.集合的中元素的三個(gè)特性:
(1)元素的確定性如:世界上的山
(2)元素的互異性如:由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}
(3)元素的無序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數(shù)集及其記法:_ kb 1.c om
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:n
正整數(shù)集 :n_或 n+
整數(shù)集: z
有理數(shù)集: q
實(shí)數(shù)集: r
1)列舉法:{a,b,c……}
2) 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合{_?r|_-3>2} ,{_|_-3>2}
3) 語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) venn圖:
4、集合的分類:
(1)有限集 含有有限個(gè)元素的集合
(2)無限集 含有無限個(gè)元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意: 有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a
2.“相等”關(guān)系:a=b (5≥5,且5≤5,則5=5)
實(shí)例:設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即:① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。a?a
② 真子集:如果a?b,且a? b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)
③ 如果 a?b, b?c ,那么 a?c
④ 如果a?b 同時(shí) b?a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
4.子集個(gè)數(shù):
有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集,含有2n-1個(gè)非空子集,含有2n-1個(gè)非空真子集
三、集合的運(yùn)算
運(yùn)算類型 交 集 并 集 補(bǔ) 集
定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.記作a b(讀作‘a(chǎn)交b’),即a b={_|_ a,且_ b}.
由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集.記作:a b(讀作‘a(chǎn)并b’),即a b ={_|_ a,或_ b}).
設(shè)s是一個(gè)集合,a是s的一個(gè)子集,由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補(bǔ)集(或余集)
記作 ,即
csa=
韋
恩
圖
示
性
質(zhì) a a=a
a φ=φ
a b=b a
a b a
a b b
a a=a
a φ=a
a b=b a
a b a
a b b
(cua) (cub)
= cu (a b)
(cua) (cub)
= cu(a b)
a (cua)=u
a (cua)= φ.
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念
設(shè)a、b是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)_,在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:a→b為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù).記作: y=f(_),_∈a.其中,_叫做自變量,_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域.
注意:
1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零,
(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.
相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));
②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法
3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納
(1)定義:
在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)p(_,y)的集合c,叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象.c上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(_,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_),反過來,以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)_、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(_,y),均在c上 .
(2) 畫法
1.描點(diǎn)法: 2.圖象變換法:常用變換方法有三種:1)平移變換2)伸縮變換3)對(duì)稱變換
4.區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 (2)無窮區(qū)間 (3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.映射
一般地,設(shè)a、b是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素_,在集合b中都有確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:a b為從集合a到集合b的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系):a(原象) b(象)”
對(duì)于映射f:a→b來說,則應(yīng)滿足:
(1)集合a中的每一個(gè)元素,在集合b中都有象,并且象是的;
(2)集合a中不同的元素,在集合b中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);
(3)不要求集合b中的每一個(gè)元素在集合a中都有原象。
6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.
補(bǔ)充:復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
二.函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))
(1)增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域?yàn)閕,如果對(duì)于定義域i內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d內(nèi)的任意兩個(gè)自變量_1,_2,當(dāng)_1
如果對(duì)于區(qū)間d上的任意兩個(gè)自變量的值_1,_2,當(dāng)_1
注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);
(2) 圖象的特點(diǎn)
如果函數(shù)y=f(_)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(a) 定義法:
(1)任取_1,_2∈d,且_1
(2)作差f(_1)-f(_2);或者做商
(3)變形(通常是因式分解和配方);
(4)定號(hào)(即判斷差f(_1)-f(_2)的正負(fù));
(5)下結(jié)論(指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).
(b)圖象法(從圖象上看升降)
(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”
注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))
(1)偶函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函數(shù).
(2)奇函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函數(shù).
(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:
○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
○2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;
○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0,則f(_)是偶函數(shù);若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0,則f(_)是奇函數(shù).
注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱,(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定; (3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .
10、函數(shù)的解析表達(dá)式
(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.
(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法
11.函數(shù)(小)值
○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(?。┲?/p>
○2 利用圖象求函數(shù)的(?。┲?/p>
○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(?。┲担?/p>
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b);
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);
第三章 基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 >1,且 ∈ _.
負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作 。
當(dāng) 是奇數(shù)時(shí), ,當(dāng) 是偶數(shù)時(shí),
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:
,
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義
3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1) · ;
(2) ;
(3) .
(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù),其中_是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)閞.
注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.
2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>1 0<1
定義域 r 定義域 r
值域y>0 值域y>0
在r上單調(diào)遞增 在r上單調(diào)遞減
非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1) 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)
注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,則 ; 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ;
(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù) ,總有 ;
二、對(duì)數(shù)函數(shù)
(一)對(duì)數(shù)
1.對(duì)數(shù)的概念:
一般地,如果 ,那么數(shù) 叫做以 為底 的對(duì)數(shù),記作: ( — 底數(shù), — 真數(shù), — 對(duì)數(shù)式)
說明:○1 注意底數(shù)的限制 ,且 ;
○2 ;
○3 注意對(duì)數(shù)的書寫格式.
兩個(gè)重要對(duì)數(shù):
○1 常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù) ;
○2 自然對(duì)數(shù):以無理數(shù) 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) .
指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化
冪值 真數(shù)
= n = b
底數(shù)
指數(shù) 對(duì)數(shù)
(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果 ,且 , , ,那么:
○1 · + ;
○2 - ;
○3 .
注意:換底公式: ( ,且 ; ,且 ; ).
利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論:(1) ;(2) .
(3)、重要的公式 ①、負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù); ②、 , ③、對(duì)數(shù)恒等式
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)
1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù) ,且 叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中 是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).
注意:○1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如: , 都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).
○2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制: ,且 .
2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):
a>1 0<1
定義域_>0 定義域_>0
值域?yàn)閞 值域?yàn)閞
在r上遞增 在r上遞減
函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(1,0) 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(1,0)
(三)冪函數(shù)
1、冪函數(shù)定義:一般地,形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中 為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(diǎn)(1,1);
(2) 時(shí),冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn),并且在區(qū)間 上是增函數(shù).特別地,當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;
(3) 時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng) 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸,當(dāng) 趨于 時(shí),圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.
第四章 函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對(duì)于函數(shù) ,把使 成立的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù) 的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù) 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
即:方程 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數(shù) 有零點(diǎn).
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:
○1 (代數(shù)法)求方程 的實(shí)數(shù)根;
○2 (幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).
4、二次函數(shù)的零點(diǎn):
二次函數(shù) .
(1)△>0,方程 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)△=0,方程 有兩相等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).
(3)△<0,方程 無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn).
5.函數(shù)的模型
【第7篇 高三上冊(cè)數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語高三學(xué)生很快就會(huì)面臨繼續(xù)學(xué)業(yè)或事業(yè)的選擇。面對(duì)重要的人生選擇,是否考慮清楚了?這對(duì)于沒有社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生來說,無疑是個(gè)困難的想選擇。如何度過這重要又緊張的一年,我們可以從提高學(xué)習(xí)效率來著手!高三頻道為各位同學(xué)整理了《高三上冊(cè)數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》,希望你努力學(xué)習(xí),圓金色六月夢(mèng)!
1.高三上冊(cè)數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
兩個(gè)平面平行的主要性質(zhì):
(1)由定義知:“兩平行平面沒有公共點(diǎn)”;
(2)由定義推得:“兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面”;
(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:“如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行”;
(4)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,它也垂直于另一個(gè)平面;
(5)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等;
(6)經(jīng)過平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行。
2.高三上冊(cè)數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.不等式的定義
在客觀世界中,量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的,我們用數(shù)學(xué)符號(hào)連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系,含有這些不等號(hào)的式子,叫做不等式.
2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小
兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來定義的,
有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?.
另外,若b>0,則有>1?;=1?;<1?.
概括為:作差法,作商法,中間量法等.
3.不等式的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性:a>b?;
(2)傳遞性:a>b,b>c?;
(3)可加性:a>b?a+cb+c,a>b,c>d?a+cb+d;
(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?;
(5)可乘方:a>b>0?(n∈n,n≥2);
(6)可開方:a>b>0?(n∈n,n≥2).
復(fù)習(xí)指導(dǎo)
1.“一個(gè)技巧”作差法變形的技巧:作差法中變形是關(guān)鍵,常進(jìn)行因式分解或配方.
2.“一種方法”待定系數(shù)法:求代數(shù)式的范圍時(shí),先用已知的代數(shù)式表示目標(biāo)式,再利用多項(xiàng)式相等的法則求出參數(shù),最后利用不等式的性質(zhì)求出目標(biāo)式的范圍.
3.“兩條常用性質(zhì)”
(1)倒數(shù)性質(zhì):
①a>b,ab>0?<;
②a<0
③a>b>0,0;
④0
(2)若a>b>0,m>0,則
①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì):<;>(b-m>0);
②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì):>;<(b-m>0).
4.高三上冊(cè)數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1、連續(xù)、間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的分類:判斷間斷點(diǎn)類型的基礎(chǔ)是求函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限;
2、可導(dǎo)和可微,分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或可導(dǎo)性,一律通過導(dǎo)數(shù)定義直接計(jì)算或檢驗(yàn)存在的定義是極限存在;
3、漸近線,(垂直、水平或斜漸近線);
4、多元函數(shù)積分學(xué),二重極限的討論計(jì)算難度較大,??疾樽C明極限不存在.
下面我們重點(diǎn)講一下數(shù)列極限的典型方法.
重要題型及點(diǎn)撥
1.求數(shù)列極限
求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式.
★抽象數(shù)列求極限
這類題一般以選擇題的形式出現(xiàn),因此可以通過舉反例來排除.此外,也可以按照定義、基本性質(zhì)及運(yùn)算法則直接驗(yàn)證.
★求具體數(shù)列的極限,可以參考以下幾種方法:
a.利用單調(diào)有界必收斂準(zhǔn)則求數(shù)列極限.
首先,用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性,進(jìn)而確定極限存在性;其次,通過遞推關(guān)系中取極限,解方程,從而得到數(shù)列的極限值.
b.利用函數(shù)極限求數(shù)列極限
如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例,形如,則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限,此時(shí)再用洛必達(dá)法則求解.
★求項(xiàng)和或項(xiàng)積數(shù)列的極限,主要有以下幾種方法:
a.利用特殊級(jí)數(shù)求和法
如果所求的項(xiàng)和式極限中通項(xiàng)可以通過錯(cuò)位相消或可以轉(zhuǎn)化為極限已知的一些形式,那么通過整理可以直接得出極限結(jié)果.
b.利用冪級(jí)數(shù)求和法
若可以找到這個(gè)級(jí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù),則可以利用冪級(jí)數(shù)函數(shù)的方法把它所對(duì)應(yīng)的和函數(shù)求出,再根據(jù)這個(gè)極限的形式代入相應(yīng)的變量求出函數(shù)值.
c.利用定積分定義求極限
若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子,剩余的項(xiàng)可用一個(gè)通項(xiàng)表示,則可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限.
d.利用夾逼定理求極限
若數(shù)列每一項(xiàng)都可以提出一個(gè)因子,剩余的項(xiàng)不能用一個(gè)通項(xiàng)表示,但是其余項(xiàng)是按遞增或遞減排列的,則可以考慮用夾逼定理求解.
e.求項(xiàng)數(shù)列的積的極限,一般先取對(duì)數(shù)化為項(xiàng)和的形式,然后利用求解項(xiàng)和數(shù)列極限的方法進(jìn)行計(jì)算.
5.高三上冊(cè)數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、定義與定義式:
自變量_和因變量y有如下關(guān)系:
y=k_+b
則此時(shí)稱y是_的一次函數(shù)。
特別地,當(dāng)b=0時(shí),y是_的正比例函數(shù)。
即:y=k_(k為常數(shù),k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì):
1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的_的變化值成正比例,比值為k
即:y=k_+b(k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù))
2.當(dāng)_=0時(shí),b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):
1.作法與圖形:通過如下3個(gè)步驟
(1)列表;
(2)描點(diǎn);
(3)連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn),并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與_軸和y軸的交點(diǎn))
2.性質(zhì):
(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)p(_,y),都滿足等式:y=k_+b。
(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0,b),與_軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。
6.高三上冊(cè)數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
(1)直線的傾斜角
定義:_軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與_軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
(2)直線的斜率
①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式:
注意下面四點(diǎn):
(1)當(dāng)時(shí),公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;
(2)k與p1、p2的順序無關(guān);
(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。
【第8篇 2023高一數(shù)學(xué)必修四公式總結(jié)
高一數(shù)學(xué)公式總結(jié)
復(fù)習(xí)指南
1. 注重基礎(chǔ)和通性通法
在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,應(yīng)立足教材,學(xué)好用好教材,深入地鉆研教材,挖掘教材的潛力,注意避免眼高手低,偏重難題,搞題海戰(zhàn)術(shù),輕視基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的不良傾向,當(dāng)然注重基礎(chǔ)和通性通法的同時(shí),應(yīng)注重一題多解的探索,經(jīng)常利用變式訓(xùn)練和變式引申來提高自己的分析問題、解決問題的能力。
2.注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性
平時(shí)學(xué)習(xí)過程中應(yīng)避免只停留在“懂”上,因?yàn)槁牰瞬灰欢〞?huì),會(huì)了不一定對(duì),對(duì)了不一定美。即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種境界:聽——懂——會(huì)——對(duì)——美。
我們今后要在第五種境界上下功夫,每年的高考結(jié)束,結(jié)果下來都可以發(fā)現(xiàn)我們宿遷市的考生與南方的差距較大,這就是其中的一個(gè)原因。
另外我們的學(xué)生的解題的素養(yǎng)不夠,比如僅僅一點(diǎn)“規(guī)范答題”問題,我們老師也強(qiáng)調(diào)很多遍,但作為學(xué)生的你們又有幾人能夠聽進(jìn)去!
希望大家還是能夠做到我經(jīng)常所講的做題的“三觀” :
1. 審題觀 2. 思想方法觀 3. 步驟清晰、層次分明觀
3. 注重應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)
注重培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析實(shí)際問題,提高數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的目的。
4.培養(yǎng)學(xué)習(xí)與反思的整合
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為知識(shí)并不是簡(jiǎn)單的由教師或者其他人傳授給學(xué)生的,而只能由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn),主動(dòng)地加以建構(gòu)。學(xué)習(xí)是一個(gè)創(chuàng)造的過程,一個(gè)批判、選擇、和存疑的過程,一個(gè)充滿想象、探索和體驗(yàn)的過程。你不想學(xué),老師強(qiáng)行的逼迫是不容易的或者說是作用不大,俗話說“強(qiáng)扭的瓜不甜”嘛!數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要對(duì)概念、結(jié)論和技能進(jìn)行記憶,積累和模仿,而且還要?jiǎng)邮謱?shí)踐,自主探索,并且在獲得知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行反思和修正。(這也就是我們經(jīng)常將讓大家一定要好好預(yù)習(xí),養(yǎng)成自學(xué)的好習(xí)慣。)記得有一位中科院的教授曾經(jīng)給“科學(xué)”下了一個(gè)定義:科學(xué)就是以懷疑和接納新知識(shí)作為進(jìn)步的標(biāo)準(zhǔn)的一門學(xué)問,仔細(xì)想來確實(shí)很有道理!
所以我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中要注意反思,只有這樣才能使內(nèi)容得到鞏固,知識(shí)的得到拓展,能力得到提高,思維得到優(yōu)化,創(chuàng)新能力得到真正的發(fā)展,希望大能夠讓數(shù)學(xué)反思成為我們的自然的習(xí)慣!
5.注重平時(shí)的聽課效率
聽課效率高不僅可以讓自己深刻的理解知識(shí),而且事半功倍,可以省好多的時(shí)間。而有些同學(xué)則認(rèn)為上課時(shí)聽不到什么,索性就不聽,抓緊課堂上的每一點(diǎn)時(shí)間做題,多做幾道題,心里就踏實(shí)。這種認(rèn)識(shí)是不科學(xué)的,想象如果上課沒有用的話,國家還開辦學(xué)校干嘛?只要印刷課本就足夠了,學(xué)生買了書就可以自己學(xué)習(xí)到時(shí)候參加考試就行了。
想想好多東西還是在課堂上聆聽的,聽聽老師對(duì)問題的分析和解題技巧,老師是如何想到的,與自己預(yù)習(xí)時(shí)的想法比較。課堂上記下比較重要的東西,更重要的是跟著老師的思路,注重老師對(duì)題目的分析過程。課后寧愿花時(shí)間去整理筆記,因?yàn)檎砉P記實(shí)際上是一種知識(shí)的整合和再創(chuàng)造!回憶課堂上老師是怎樣講的,自己在整理時(shí)有比較好的想法,就記下來,抓住自己思維的火花,因?yàn)檩^為深刻的思維火花往往是稍縱即逝的。
在這里我再一次強(qiáng)調(diào)聽課要做到“五得”
? 聽得懂 ? 想得通 ? 記得住 ? 說得出 ? 用得上2
6. 注重思想方法的學(xué)習(xí)
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法,它是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括,它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中,也是歷年來高考數(shù)學(xué)命題的特點(diǎn)之一。不少學(xué)者認(rèn)為:
“傳授知識(shí)”是數(shù)學(xué)的一種境界,加上“能力培養(yǎng)”是稍高的境界,再加上“方法滲透”是較高的境界,而再加上“提高修養(yǎng)(指數(shù)學(xué)文化和非智力引力的介入)”則是境界。作為學(xué)生一定要深刻理解數(shù)學(xué)的思想方法,它是數(shù)學(xué)的精髓,只有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,才能把數(shù)學(xué)的知識(shí)和技能轉(zhuǎn)化為分析問題和解決問題的能力,才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn),才能形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。即使在以后我們走上社會(huì),在工作崗位上我們的這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會(huì)內(nèi)化為自身的較深的修養(yǎng),從而使得自己的氣質(zhì)得以升華,它對(duì)于我們今后的做人和處事有很大的指導(dǎo)意義,再加上我們的人文素養(yǎng)就可以造就自己哲學(xué)修養(yǎng)。
真心希望我的這些忠告能夠?qū)δ憬窈蟮膶W(xué)習(xí)有所幫助,果真如此,也就聊以欣慰了!
基本三角函數(shù)
ⅰ
ⅱ ? 終邊落在_軸上的角的集合:?????,??z?? 終邊落在y軸上的角的集合:????????????,??z????,??z?終邊落在與坐標(biāo)軸上的角的集合:??
?? 22????
360度?2? 弧度
l? r
?11s?l r?? r2
221???180.弧度
180 1 弧度?度180??? 弧度?倒數(shù)關(guān)系:sin?csc??1 正六邊形對(duì)角線上對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)之積為1
cos?sec??1
tan2??1?sec2?
平方關(guān)系:sin2??cos??1 21?cot2??csc2?
乘積關(guān)系:sin??tan?cos? , 頂點(diǎn)的三角函數(shù)等于相鄰的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)乘積
ⅲ 誘導(dǎo)公式? 終邊相同的角的三角函數(shù)值相等
sin???2k???sin? , k?z cos???2k???cos? , k?z
tan???2k???tan? , k?z
?角?與角??關(guān)于_軸對(duì)稱sin??????sin?
cos?????cos?
tan??????tan?
?角???與角?關(guān)于y軸對(duì)稱sin??????sin?
cos???????cos?
tan???????tan? ?角???與角?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱sin???????sin?
tan??????tan?cos???????cos?
?角?
2??與角?關(guān)于y?_對(duì)稱???sin
?????cos?cos??2?? ??????cos?????sin?
cos??????sin??2??2?
??????tan?????cot?tan??????cot??2??2?
上述的誘導(dǎo)公式記憶口訣:“奇變偶不變,符號(hào)看象限”
ⅳ 周期問題
?
2?y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t????y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??
y?asin??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b ?0 , t?2?y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?2?
2?y?acos??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b?0 , t?????t??y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 ,
?
y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?
?
??
y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?
?
ⅴ 三角函數(shù)的性質(zhì)
y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??怎樣由y?sin_變化為y?asin??_????k ? 振幅變化:y?sin_左右伸縮變化:
y 左右平移變化 _??)
上下平移變化y?asin(?_??)?k
ⅵ平面向量共線定理:一般地,對(duì)于兩個(gè)向量 a,a?0,b,如果有
?
一個(gè)實(shí)數(shù)?,使得??,?,則與與是共線向量 那么又且只有一個(gè)實(shí)數(shù)?,使得??.
ⅶ 線段的定比分點(diǎn)
?
.
op?
??當(dāng)??1時(shí) ?當(dāng)??1時(shí)
ⅷ 向量的一個(gè)定理的類似推廣
向量共線定理: ?? ??
?推廣
? 平面向量基本定理: a??e ??e , ??其中e1,e2?1122
??
?不共線的向量
?
?推廣
??1e1 ??2e2 ??3e3,
空間向量基本定理: ?? 其中e,e,e為該空間內(nèi)的三個(gè)123??
?不共面的向量???
ⅸ一般地,設(shè)向量??_1,y1?,??_2,y2?且?,如果∥那么_1y2?_2y1?0 反過來,如果_1y2?_2y1?0,則∥.
ⅹ 一般地,對(duì)于兩個(gè)非零向量a,b 有 ???,其中θ為兩向量的夾角。
cos??
?
_1_2?y1y2_1
2?
y1
2
_2
2
?
y2
2
特別的,??? ?
2
?
如果 ??_1,y1? , ??_2,y2? 且? , 則??_1_2?y1y2特別的 , a?b?_1_2?y1y2?0
? 若正n邊形a1a2???an的中心為o , 則oa1?oa2?????oan?
三角形中的三角問題
a?b?c ?a?b?c?? ,a?b?c??,?-2
2
2
2
2
?a?b??c?
sin?a?b??sin?c? cos?a?b???cos?c? sin???cos??
?2??2?
?a?b??c?cos???sin??
?2??2?
?正弦定理:
abca?b?c
???2r? sinasinbsincsina?sinb?sinc
余弦定理:
a2?b2?c2?2bccosa , b2?a2?c2?2accosb c?a?b?2abcosc
2
2
2
b2?c2?a2a2?c2?b2cosa ?, cosb ?
2bc2ac
變形: 222
a?b?c
cosc ?2ab
?tana?tanb?tanc?tanatanbtanc
三角公式以及恒等變換
?兩角的和與差公式:sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)
sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)
cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)tan??tan?
, t(???)
1?tan?tan?tan??tan?
tan?????? , t(???)
1?tan?tan?tan??????
?二倍角公式:
sin2??2sin?cos?
cos2??2cos??1?1?2sin??cos??sin?
2tan?
tan2??
1?tan2?
2
2
2
2
tan??tan??tan??????1?tan?tan??
變形: tan??tan??tan??????1?tan?tan??
tan??tan??tan??tan?tan?tan?
其中?,?,?為三角形的三個(gè)內(nèi)角
?半角公式:
sin
?
2
??
1?cos2
?coscos??
22
2
?
tan
?
2
??
1?cossin?1?cos?
??
1?cos?1?cos?sin?
?降冪擴(kuò)角公式:cos2??1?cos2?, sin2??1?cos2?
2
1
?sin??????sin??????21
?積化和差公式:cos?sin???sin??????sin??????
21
cos?cos???cos??????cos??????
21
sin?sin????cos??????cos??????
2
sin?cos????????????
sin??sin??2sin??cos??
22??????????????
sin??sin??2cos??sin??
?和差化積公式:?2??2?
?????????
cos??cos??2cos??cos?
?2??2?????????
cos??cos???2sin??sin?
?2??2
2tan
sin??
s?s?2sc
( s?s?2cs)
c?c?2cc??c?c??2ss
?
???
?
1?tan2
2
?萬能公式:
1?tan2
cos??
1?tan2
?2
( s?t?c?? )
tan??
2tan
?
1?tan2
2
3
?三倍角公式:sin3??3sin??4sin?
3tan??tan3?
tan3??
31?3tan2?cos3??4cos??3cos?
“三四立,四立三,中間橫個(gè)小扁擔(dān)”
?
1. y?asin??bcos??
b
aa
2. y?acos??bsin??a2?b2sin????? 其中 , tan??
bb
? a2?b2cos????? 其中 , tan??ab
3. y?asin??bcos??a2?b2sin????? 其中 , tan??
aa
??a2?b2cos????? 其中 , tan??b
a2?b2sin????? 其中 , tan??
4. y?acos??bsin??
a2?b2sin?????
a
bb
?a2?b2cos????? 其中 , tan??a
注:不同的形式有不同的化歸,相同的形式也有不同的化歸,進(jìn)而可以 ??a2?b2sin????? 其中 , tan??求解最值問題. 不需要死記公式,只要記憶 1. 的推導(dǎo)即表達(dá)技巧,其它的就可以直接寫出.
一般是表達(dá)式第一項(xiàng)是正弦的就用兩角和與差的正弦來靠,第一項(xiàng)是余弦的就用兩角和與差的與弦來靠. 比較容易理解和掌握.
tan??tan?
, t(???)
? 補(bǔ)充: 1. 由公式 1?tan?tan?
tan??tan?
tan?????? , t(???)
1?tan?tan?
tan??????
第8 / 10頁
可以推導(dǎo) : 當(dāng)??????? 在有些題目中應(yīng)用廣泛。
2. tan??tan??tan?????tan?tan??tan????? 3. 柯西不等式(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?r.
補(bǔ)充
1.常見三角不等式:(1)若_?(0,
(2) 若_?(0,
2
2
2
2
2
?
4
時(shí), ??z , ?1?tan???1?tan???2
?
2
),則sin_?_?tan_.
?
2
22
2. sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式);
),則1?sin_?cos_?|sin_|?|cos_|?1.
cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.
asin??bcos?
???)(輔助角?所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決定,
b
tan?? ).
a
3. 三倍角公式 :sin3??3sin??4sin??4sin?sin(
3
?
??)sin(??). 33
?
cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??).333tan??tan3???
tan3???tan?tan(??)tan(??).
1?3tan2?33
4.三角形面積定理:(1)s?
??
111
aha?bhb?chc(ha、hb、hc分別表示a、b、c邊222
上的高).
111
absinc?bcsina?
casinb.(3)222
s?oab?5.三角形內(nèi)角和定理在△abc中,有a?b?c???c???(a?b)
c?a?b????2c?2??2(a?b).
222
(2)s?
6. 正弦型函數(shù)y?asin(?_??)的對(duì)稱軸為_?
k??
?
??
?
(k?z);對(duì)稱中心
為(
k???
,0)(k?z);類似可得余弦函數(shù)型的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心; ?
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〈三〉易錯(cuò)點(diǎn)提示: 1. 在解三角問題時(shí),你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎?你注意到正弦函數(shù)、
余弦函數(shù)的有界性了嗎? 2. 在三角中,你知道1等于什么嗎?(
這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”
的種種代換有著廣泛的應(yīng)用.
3. 你還記得三角化簡(jiǎn)的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角,異名化同名,高次化低次) 4. 你還記得在弧度制下弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎?(
【第9篇 數(shù)學(xué)必修一第一單元知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
數(shù)學(xué)人教版必修一第一單元知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
在人類歷史發(fā)展和社會(huì)生活中,數(shù)學(xué)發(fā)揮著不可替代的作用,小編準(zhǔn)備了高一數(shù)學(xué)人教版必修一第一單元知識(shí)點(diǎn),具體請(qǐng)看以下內(nèi)容。
1.函數(shù)的基本概念
(1)函數(shù)的定義:設(shè)a、b是非空數(shù)集,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)_,在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(_)和它對(duì)應(yīng),那么稱f:a→b為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù),記作:y=f(_),_∈a.
(2)函數(shù)的定義域、值域
在函數(shù)y=f(_),_∈a中,_叫自變量,_的取值范圍a叫做定義域,與_的值對(duì)應(yīng)的y值叫函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(_)|_∈a}叫值域.值域是集合b的子集.
(3)函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.
(4)相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)相等;這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).
2.函數(shù)的三種表示方法
表示函數(shù)的常用方法有:解析法、列表法、圖象法.
3.映射的概念
一般地,設(shè)a、b是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素_,在集合b中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:a→b為從集合a到集合b的一個(gè)映射.
注意:
一個(gè)方法
求復(fù)合函數(shù)y=f(t),t=q(_)的定義域的方法:
①若y=f(t)的'定義域?yàn)?a,b),則解不等式得a
兩個(gè)防范
(1)解決函數(shù)問題,必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域.
(2)用換元法解題時(shí),應(yīng)注意換元前后的等價(jià)性.
三個(gè)要素
函數(shù)的三要素是:定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.值域是由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定的.兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致時(shí),則認(rèn)為兩個(gè)函數(shù)相等.函數(shù)是特殊的映射,映射f:a→b的三要素是兩個(gè)集合a、b和對(duì)應(yīng)關(guān)系f.
高中是人生中的關(guān)鍵階段,大家一定要好好把握高中,編輯老師為大家整理的高一數(shù)學(xué)人教版必修一第一單元知識(shí)點(diǎn),希望大家喜歡。
【第10篇 高三數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語仰望天空時(shí),什么都比你高,你會(huì)自卑;俯視大地時(shí),什么都比你低,你會(huì)自負(fù);只有放寬視野,把天空和大地盡收眼底,才能在蒼穹泛土之間找到你真正的位置。無須自卑,不要自負(fù),堅(jiān)持自信。高三頻道為你整理了《高三數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》,歡迎閱讀,祝愿天下所有的學(xué)子們都能取得的成績(jī)!
1.高三數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1、二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法:直線定界,測(cè)試點(diǎn)定域.
注意:不等式中不等號(hào)有無等號(hào),無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線,有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線.測(cè)試點(diǎn)可以選一個(gè),也可以選多個(gè),若直線不過原點(diǎn),測(cè)試點(diǎn)常選取原點(diǎn).
2、求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為:一畫二移三求.其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域,理解目標(biāo)函數(shù)的意義.
3、常見的目標(biāo)函數(shù)有:
(1)、截距型:形如z=a_+by.
求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z=a_+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式:y=-a/b_+z/b,通過求直線的截距z/b的最值間接求出z的最值.
(2)、距離型:形如z=(_-a)2+(y-b)2.
(3)、斜率型:形如z=(y-b)/(_-a).
注意:轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義.
4、與線性規(guī)劃有關(guān)的應(yīng)用問題,通常涉及化問題.如用料最省、獲利等,其解題步驟是:
①設(shè)未知數(shù),確定線性約束條件及目標(biāo)函數(shù);
②轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型;
③解該線性規(guī)劃問題,求出解;
④調(diào)整解.
2.高三數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.不等式的定義
在客觀世界中,量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的,我們用數(shù)學(xué)符號(hào)連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系,含有這些不等號(hào)的式子,叫做不等式.
2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小
兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來定義的,
有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?.
另外,若b>0,則有>1?;=1?;<1?.
概括為:作差法,作商法,中間量法等.
3.不等式的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性:a>b?;
(2)傳遞性:a>b,b>c?;
(3)可加性:a>b?a+cb+c,a>b,c>d?a+cb+d;
(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?;
(5)可乘方:a>b>0?(n∈n,n≥2);
(6)可開方:a>b>0?(n∈n,n≥2).
3.高三數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
兩角和差公式
兩角和與差的三角函數(shù)公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴(kuò)角公式)
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
萬能公式推導(dǎo)
附推導(dǎo):
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......_,
(因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1)
再把_分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。
4.高三數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí),不要忘了全集和空集的特殊情況,不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進(jìn)行求解。
2.在應(yīng)用條件時(shí),易a忽略是空集的情況
3.你會(huì)用補(bǔ)集的思想解決有關(guān)問題嗎?
4.簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題有什么區(qū)別?四種命題之間的相互關(guān)系是什么?如何判斷充分與必要條件?
5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別。
6.求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則。
7.判斷函數(shù)奇偶性時(shí),易忽略檢驗(yàn)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
8.求一個(gè)函數(shù)的解析式和一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí),易忽略標(biāo)注該函數(shù)的定義域。
9.原函數(shù)在區(qū)間[-a,a]上單調(diào)遞增,則一定存在反函數(shù),且反函數(shù)也單調(diào)遞增;但一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù),此函數(shù)不一定單調(diào)。
10.你熟練地掌握了函數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎?定義法(取值,作差,判正負(fù))和導(dǎo)數(shù)法
5.高三數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
表達(dá)式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2,兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差,這個(gè)公式就叫做乘法的平方差公式
公式運(yùn)用
可用于某些分母含有根號(hào)的分式:
1/(3-4倍根號(hào)2)化簡(jiǎn):
1×(3+4倍根號(hào)2)/(3-4倍根號(hào)2)^2;=(3+4倍根號(hào)2)/(9-32)=(3+4倍根號(hào)2)/-23
[解方程]
_^2-y^2=1991
[思路分析]
利用平方差公式求解
[解題過程]
_^2-y^2=1991
(_+y)(_-y)=1991
因?yàn)?991可以分成1×1991,11×181
所以如果_+y=1991,_-y=1,解得_=996,y=995
如果_+y=181,_-y=11,_=96,y=85同時(shí)也可以是負(fù)數(shù)
所以解有_=996,y=995,或_=996,y=-995,或_=-996,y=995或_=-996,y=-995
或_=96,y=85,或_=96,y=-85或_=-96,y=85或_=-96,y=-85
有時(shí)應(yīng)注意加減的過程。
【第11篇 高三數(shù)學(xué)必修五第二章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
高三數(shù)學(xué)必修五第二章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1、等差數(shù)列的定義
如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的.前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示。
2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差是d,則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n—1)d。
3、等差中項(xiàng)
如果a=(a+b)/2,那么a叫做a與b的等差中項(xiàng)。
4、等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n—m)d(n,m∈n_)。
(2)若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈n_)。
(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈n_)是公差為md的等差數(shù)列。
(4)數(shù)列sm,s2m—sm,s3m—s2m,…也是等差數(shù)列。
(5)s2n—1=(2n—1)an、
(6)若n為偶數(shù),則s偶—s奇=nd/2;若n為奇數(shù),則s奇—s偶=a中(中間項(xiàng))。
【第12篇 2023高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
高一數(shù)學(xué)集合有關(guān)概念
集合的含義
集合的中元素的三個(gè)特性:
元素的確定性如:世界上的山
元素的互異性如:由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}
元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合
3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊(duì)員},b={1,2,3,4,5}
集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:n
正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實(shí)數(shù)集r
列舉法:{a,b,c……}
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{_(r|_-3>2},{_|_-3>2}
語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
venn圖:
4、集合的分類:
有限集含有有限個(gè)元素的集合
無限集含有無限個(gè)元素的集合
空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}
高一數(shù)學(xué)集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2.“相等”關(guān)系:a=b(5≥5,且5≤5,則5=5)
實(shí)例:設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同則兩集合相等”
即:①任何一個(gè)集合是它本身的子集。a(a
②真子集:如果a(b,且a(b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)
③如果a(b,b(c,那么a(c
④如果a(b同時(shí)b(a那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集
高一數(shù)學(xué)考試命題趨勢(shì)
1.函數(shù)知識(shí):基本初等函數(shù)性質(zhì)的考查,以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為背景的函數(shù)問題;以向量知識(shí)為背景的函數(shù)問題;從具體函數(shù)的考查轉(zhuǎn)向抽象函數(shù)考查;從重結(jié)果考查轉(zhuǎn)向重過程考查;從熟悉情景的考查轉(zhuǎn)向新穎情景的考查。
2.向量知識(shí):向量具有數(shù)與形的雙重性,高考中向量試題的命題趨向:考查平面向量的基本概念和運(yùn)算律;考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算;考查平面向量與幾何、三角、代數(shù)等學(xué)科的綜合性問題。
3.不等式知識(shí):突出工具性,淡化獨(dú)立性,突出解,是不等式命題的新取向。高考中不等式試題的命題趨向:基本的線性規(guī)劃問題為必考內(nèi)容,不等式的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、二交函數(shù)等結(jié)合起來,考查不等式的性質(zhì)、最值、函數(shù)的單調(diào)性等;證明不等式的試題,多以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為背景,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題,綜合性強(qiáng),能力要求高;解不等式的試題,往往與公式、根式和參數(shù)的討論聯(lián)系在一起??疾閷W(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分類討論能力;以當(dāng)前經(jīng)濟(jì)、社會(huì)生產(chǎn)、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題仍將是高考的熱點(diǎn),主要考查學(xué)生閱讀理解能力以及分析問題、解決問題的能力。
4.立體幾何知識(shí):2023年已經(jīng)變得簡(jiǎn)單,2023年難度依然不大,基本的三視圖的考查難點(diǎn)不大,以及球與幾何體的組合體,涉及切,接的問題,線面垂直、平行位置關(guān)系的考查,已經(jīng)線面角,面面角和幾何體的體積計(jì)算等問題,都是重點(diǎn)考查內(nèi)容。
5.解析幾何知識(shí):小題主要涉及圓錐曲線方程,和直線與圓的位置關(guān)系,以及圓錐曲線幾何性質(zhì)的考查,極坐標(biāo)下的解析幾何知識(shí),解答題主要考查直線和圓的知識(shí),直線與圓錐曲線的知識(shí),涉及圓錐曲線方程,直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,定點(diǎn),定值,范圍的考查,考試的難度降低。
6.導(dǎo)數(shù)知識(shí):導(dǎo)數(shù)的考查還是以理科19題,文科20題的形式給出,從常見函數(shù)入手,導(dǎo)數(shù)工具作用(切線和單調(diào)性)的考查,綜合性強(qiáng),能力要求高;往往與公式、導(dǎo)數(shù)往往與參數(shù)的討論聯(lián)系在一起,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,但今年的難點(diǎn)整體偏低。
7.開放型創(chuàng)新題:答案不,或是邏輯推理題,以及解答題中的開放型試題的考查,都是重點(diǎn),理科13,文科14題。
【第13篇 高一上冊(cè)數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語高一新生要作好充分思想準(zhǔn)備,以自信、寬容的心態(tài),盡快融入集體,適應(yīng)新同學(xué)、適應(yīng)新校園環(huán)境、適應(yīng)與初中迥異的紀(jì)律制度。記?。菏悄阒鲃?dòng)地適應(yīng)環(huán)境,而不是環(huán)境適應(yīng)你。因?yàn)槟阕呦蛏鐣?huì)參加工作也得適應(yīng)社會(huì)。以下內(nèi)容是為你整理的《高一上冊(cè)數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》,希望你不負(fù)時(shí)光,努力向前,加油!
1.高一上冊(cè)數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
平面的一般式方程
a_+by+cz+d=0
其中n=(a,b,c)是平面的法向量,d是將平面平移到坐標(biāo)原點(diǎn)所需距離(所以d=0時(shí),平面過原點(diǎn))
向量的模(長(zhǎng)度)
給定一個(gè)向量v(_,y,z),則|v|=sqrt(___+y_y+z_z)
向量的點(diǎn)積(內(nèi)積)
給定兩個(gè)向量v1(_1,y1,z1)和v2(_2,y2,z2)則他們的內(nèi)積是
v1v2=_1_2+y1y2+z1z2
2.高一上冊(cè)數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1、平面三角形證法
在△abc中,bc=a,ac=b,ab=c,作ad⊥bc于d,則ad=c_sinb,dc=a-bd=a-c_cosb
在rt△acd中,
b2=ad2+dc2=(c_sinb)2+(a-c_cosb)2
=c2sin2b+a2-2ac_cosb+c2cos2b
=c2(sin2b+cos2b)+a2-2ac_cosb
=c2+a2-2ac_cosb
2、平面向量證法
有a+b=c(平行四邊形定則:兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ)
又∵cos(π-θ)=-cosθ(誘導(dǎo)公式)
∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ
此即c2=a2+b2-2abcosc
即cosc=(a2+b2-c2)/2_a_b
3.高一上冊(cè)數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.函數(shù)的奇偶性。
(1)若f(_)是偶函數(shù),那么f(_)=f(-_)。
(2)若f(_)是奇函數(shù),0在其定義域內(nèi),則f(0)=0(可用于求參數(shù))。
(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式:f(_)±f(-_)=0或(f(_)≠0)。
(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡(jiǎn),再判斷其奇偶性。
(5)奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性。
2.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題。
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:若已知的定義域?yàn)閇a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的定義域由不等式a≤g(_)≤b解出即可;若已知f[g(_)]的定義域?yàn)閇a,b],求f(_)的定義域,相當(dāng)于_∈[a,b]時(shí),求g(_)的值域(即f(_)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。
(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定。
3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對(duì)稱性)。
(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性,即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上。
(2)證明圖像c1與c2的對(duì)稱性,即證明c1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在c2上,反之亦然。
(3)曲線c1:f(_,y)=0,關(guān)于y=_+a(y=-_+a)的對(duì)稱曲線c2的方程為f(y-a,_+a)=0(或f(-y+a,-_+a)=0)。
(4)曲線c1:f(_,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線c2方程為:f(2a-_,2b-y)=0。
(5)若函數(shù)y=f(_)對(duì)_∈r時(shí),f(a+_)=f(a-_)恒成立,則y=f(_)圖像關(guān)于直線_=a對(duì)稱。
4.函數(shù)的周期性。
(1)y=f(_)對(duì)_∈r時(shí),f(_+a)=f(_-a)或f(_-2a)=f(_)(a>0)恒成立,則y=f(_)是周期為2a的周期函數(shù)。
(2)若y=f(_)是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線_=a對(duì)稱,則f(_)是周期為2︱a︱的周期函數(shù)。
(3)若y=f(_)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線_=a對(duì)稱,則f(_)是周期為4︱a︱的周期函數(shù)。
(4)若y=f(_)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱,則f(_)是周期為2的周期函數(shù)。
5.判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí),抓住兩點(diǎn)。
(1)a中元素必須都有象且。
(2)b中元素不一定都有原象,并且a中不同元素在b中可以有相同的象。
6.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,求反函數(shù),判斷函數(shù)的奇偶性。
7.對(duì)于反函數(shù),應(yīng)掌握以下一些結(jié)論。
(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。
(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)。
(3)定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。
(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù)。
(5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性。
(6)y=f(_)與y=f-1(_)互為反函數(shù),設(shè)f(_)的定義域?yàn)閍,值域?yàn)閎,則有f[f--1(_)]=_(_∈b),f--1[f(_)]=_(_∈a)。
8.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合。
二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值,求最值問題用“兩看法”:一看開口方向;二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系。
9.依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問題。
10.恒成立問題的處理方法。
(1)分離參數(shù)法。
(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解。
4.高一上冊(cè)數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
定義:
形如y=_^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?,指?shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域:
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù),則_肯定不能為0,不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則_不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)_為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的值域的不同情況如下:在_大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在_小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì):
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則_^(p/q)=q次根號(hào)(_的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是r,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí),設(shè)a=-k,則_=1/(_^k),顯然_≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到_所受到的限制來源于兩點(diǎn),一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對(duì)于_>0,則a可以是任意實(shí)數(shù);
排除了為0這種可能,即對(duì)于_<0和_>0的所有實(shí)數(shù),q不能是偶數(shù);
排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對(duì)于_為大于且等于0的所有實(shí)數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí),冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:
如果a為任意實(shí)數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);
如果a為負(fù)數(shù),則_肯定不能為0,不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時(shí)q為偶數(shù),則_不能小于0,這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
在_大于0時(shí),函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。
在_小于0時(shí),則只有同時(shí)q為奇數(shù),函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。
而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域。
由于_大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到:
(1)所有的圖形都通過(1,1)這點(diǎn)。
(2)當(dāng)a大于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時(shí),冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當(dāng)a大于1時(shí),冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí),冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當(dāng)a小于0時(shí),a越小,圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點(diǎn)。
(6)顯然冪函數(shù)_。
5.高一上冊(cè)數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
公式一
設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα(k∈z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈z)
公式二
設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三
任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈z)
【第14篇 高三數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
立體幾何初步
(1)棱柱:
定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱
幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐
幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
(4)圓柱:
定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。
(5)圓錐:
定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。
(6)圓臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。
(7)球體:
定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
【第15篇 高三數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié):立體幾何初步
導(dǎo)語高三的日子是苦的,有剛?cè)敫呷龝r(shí)的迷茫和壓抑,有成績(jī)失意時(shí)的沉默不語,有晚上奮戰(zhàn)到一兩點(diǎn)的精神肉體雙重壓力,也有在清晨凜冽的寒風(fēng)中上學(xué)的艱苦經(jīng)歷。在奮筆疾書中得到知識(shí)的快樂,也是一種在巨大壓力下顯得茫然無助的痛苦。高三頻道為你整理《高三數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié):立體幾何初步》希望對(duì)你有幫助!
1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:
定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱
幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐
幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
(4)圓柱:
定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。
(5)圓錐:
定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。
(6)圓臺(tái):
定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。
(7)球體:
定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法
斜二測(cè)畫法特點(diǎn):①原來與_軸平行的線段仍然與_平行且長(zhǎng)度不變;
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來的一半。
4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積
(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。
(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng),h為高,為斜高,l為母線)
(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式
(4)球體的表面積和體積公式:v=;s=
5、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系
(1)平面
①平面的概念:a.描述性說明;b.平面是無限伸展的;
②平面的表示:通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫在一個(gè)銳角內(nèi));也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示,如平面bc。
③點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)a在平面內(nèi),記作;點(diǎn)不在平面內(nèi),記作
點(diǎn)與直線的關(guān)系:點(diǎn)a的直線l上,記作:a∈l;點(diǎn)a在直線l外,記作al;
直線與平面的關(guān)系:直線l在平面α內(nèi),記作lα;直線l不在平面α內(nèi),記作lα。
(2)公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。(即直線在平面內(nèi),或者平面經(jīng)過直線)
應(yīng)用:檢驗(yàn)桌面是否平;判斷直線是否在平面內(nèi)。用符號(hào)語言表示公理1:
(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。
推論:一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。
公理2及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)
(4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線
符號(hào):平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a。符號(hào)語言:
公理3的作用:①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。
②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系:交線公共點(diǎn)。
③它可以判斷點(diǎn)在直線上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。
(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行
(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系
①異面直線定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
②異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交。
③異面直線判定:過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線
④異面直線所成角:直線a、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)o,分別引直線a’∥a,b’∥b,則把直線a’和b’所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直。
說明:(1)判定空間直線是異面直線方法:①根據(jù)異面直線的定義;②異面直線的判定定理
(2)在異面直線所成角定義中,空間一點(diǎn)o是任取的,而和點(diǎn)o的位置無關(guān)。
(3)求異面直線所成角步驟:
a、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。
b、證明作出的角即為所求角
c、利用三角形來求角
(7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ)。
(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).
三種位置關(guān)系的符號(hào)表示:aαa∩α=aa∥α
(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行——沒有公共點(diǎn);α∥β相交——有一條公共直線。α∩β=b
6、空間中的平行問題
(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行
線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。
線面平行線線平行
(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)
兩個(gè)平面平行的判定定理(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行(線面平行→面面平行),
(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行。(線線平行→面面平行),
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。(面面平行→線面平行)
(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。(面面平行→線線平行)
7、空間中的垂直問題
(1)線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直。
②線面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個(gè)平面垂直。
③平面和平面垂直:如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個(gè)平面垂直。
(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理
①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理
判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個(gè)平面。
性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。
②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直。
性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。
8、空間角問題
(1)直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角:規(guī)定為。
②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角。
③兩條異面直線所成的角:過空間任意一點(diǎn)o,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
(2)直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角:規(guī)定為。
②平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為。
③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。
求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計(jì)算”。
在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線,
解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)信息:(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線;(2)過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線。
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過來,如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角
④求二面角的方法
定義法:在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角
垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角
9、空間直角坐標(biāo)系
(1)定義:如圖,是單位正方體.以a為原點(diǎn),分別以od,o,ob的方向?yàn)檎较颍?/p>
建立三條數(shù)軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系o_yz.
1)o叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)_軸,y軸,z軸叫做坐標(biāo)軸.3)過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。
(2)右手表示法:令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí),可能形成的位置。大拇指指向?yàn)開軸正方向,食指指向?yàn)閥軸正向,中指指向則為z軸正向,這樣也可以決定三軸間的相位置。
(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示:空間一點(diǎn)m的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組來表示,有序?qū)崝?shù)組叫做點(diǎn)m在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作(_叫做點(diǎn)m的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)m的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)m的豎坐標(biāo))
(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式
【第16篇 高二數(shù)學(xué)必修三公式總結(jié):三角函數(shù)的積化和差公式
三角函數(shù)的積化和差公式
sinα ·cosβ=1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα ·sinβ=1/2 [sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα ·cosβ=1/2 [cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα ·sinβ=-1/2 [cos(α+β)-cos(α-β)]